ciekawe zadanie ze sferą i stożkiem

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
hoodies
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 138
Rejestracja: 1 mar 2008, o 16:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Pruszków
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 21 razy

ciekawe zadanie ze sferą i stożkiem

Post autor: hoodies »

W sferę o promieniu R wpisano stożek,którego przekrój osiowy jest równoramiennym trójkątem prostokątnym.Następnie w stożek ten wpisano sferę, a w tę sferę stożek, którego przekrój osiowy jest równoramiennym trójkątem prostokątnym itd. Oblicz sumę pól powierzchni tych wszystkich sfer.
wb
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3507
Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Brodnica
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1260 razy

ciekawe zadanie ze sferą i stożkiem

Post autor: wb »

W przekroju osiowym otrzymujemy prostokątny trójkąt równoramienny wpisany w koło o promieniu R, którego podstawa jest średnicą koła.
Tworzymy ciąg geometryczny kolejnych promieni sfer, w którym:
\(\displaystyle{ R_1=R}\) zaś \(\displaystyle{ R_2}\) jest promieniem koła wpisanego w trójkąt, którego boki mają długości: \(\displaystyle{ 2R \ \ , \ \ R\sqrt2 \ \ , \ \ R\sqrt2}\).

Zatem:
\(\displaystyle{ R_2= \frac{R^2}{ \frac{2R+2R\sqrt2}{2} }= \frac{R}{1+\sqrt2}}\).

Ciąg pól sfer ma więc dwa kolejne wyrazy równe:
\(\displaystyle{ P_1=4\pi R_1^2=4\pi R^2 \\ P_2=4\pi R_2^2=4\pi (\frac{R}{1+\sqrt2})^2 \\ \\ q= \frac{P_2}{P_1}=...= \frac{1}{3+2\sqrt2}}\)
ODPOWIEDZ