objętość ostrosłupa

[kasia_maa]

Promień kuli wpisanej w ostrosłup prawidłowy trójkątny jest równy \(\displaystyle{ r}\), a kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy jest równy \(\displaystyle{ \alpha}\). Obliczyć objętość tego ostrosłupa.

[olazola]

Kąt znajduje się pomiędzy wysokością ściany bocznej a wysokością podstawy.
Potrzebne oznaczenia:
h - wysokość podstawy
H wysokość ostrosłupa
x - odcinek łączący środek kuli z wierzchołkiem

H=r+x
Należy obliczyć x:
prowadzimy promień do punktu styczności ściany z kulą w wyniku czego powstaje nam trójkąt o przypr r i kawałek wysokości ściany bocznej (nieistotne) i przeciwpr. x. Kąty w tym trójkącie to α, 90°-α, 90°. Korzystamy z cosα:
\(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{r}{x}\\x=\frac{r}{\cos\alpha}\\H=\frac{r\(1+\cos\alpha\)}{\cos\alpha}}\)

Teraz trzeba obliczyć długość krawędzi podstawy:
Rozpatrujemy trójkąt porot. o przypr. H i \(\displaystyle{ \frac{1}{3}h}\) a przeciwprost. jest wysokość ściany bocznej (nieistotne)


\(\displaystyle{ \tan\alpha=\frac{H}{\frac{a\sqrt{3}}{6}}}\)

No i teraz poskładaj sobie te klocuszki.

[kasia_maa]

Korzystamy z cosα:
\(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{r}{x}\\x=\frac{r}{\cos\alpha}H=\frac{r\(1+\cos\alpha}{\cos\alpha}}\)

W drugiej linijce, skąd te H sie wzielo ??

[ja.rafal]

ponieważ H=r+x
r było dane w treści zadania, a x obliczone wyżej.
tam przed H powinien być odstęp

[olazola]

Przerzuciłam to do następnej linijki, dla lepszej czytelności