Ostrosłup prawidłowy

[damianate]

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt ostry ściany bocznej przy wierzchołku ostrosłupa ma miarę Alfa. Oblicz tg kąta ostrego Beta, jaki tworzy z płaszczyzną podstawy płaszczyzna przechodząca przez wierzchołek ostrosłupa oraz przez środki dwóch sąsiednich boków podstawy.


Kompletnie nie wiem o jakie katy chodzi, proszę o wytłumaczenie i jeśli można to rysunek:) Pozdrawiam i z góry dziękuje

[Justka]

Rysunek postaram się najwyżej do jutra zrobić
Przyjmijmy takie oznaczenia: a- dł. krawędzi podstawy, b- krawędź boczna. Aby policzyć tg kąta beta musimy znać wysokość ostrosłupa i 1/4 dł. przekatnej podstawy. Zatem: \(\displaystyle{ H=\sqrt{b^2-(\frac{a\sqrt{2}}{2})^2} x=\frac{1}{4}\cdot a\sqrt{2}}\)
No to liczymy:
Z tw. cosinusów mamy: \(\displaystyle{ 2b^2-2b^2cos\alpha=a^2 \iff b^2=\frac{a^2}{2-2cos\alpha}}\). I dalej:
\(\displaystyle{ tg\beta=\frac{H}{x}=\frac{\sqrt{\frac{a^2}{2-2cos\alpha}-\frac{2a^2}{4}}}{\frac{a\sqrt{2}}{4}}}\)
Trochę uprościmy zapis:
\(\displaystyle{ tg\beta=\sqrt{\frac{4a^2-2a^2(2-2cos\alpha)}{4(2-2cos\alpha)}\cdot \frac{16}{2a^2}} \iff tg\beta=\sqrt{\frac{4cos\alpha}{1-cos\alpha}}}\)

[damianate]

Dzieki wielkie, ale prosze o rysunek:) Nie wiem skad ta 1/4

[Justka]

AU

xclz78.jpg (15.25 KiB) Przejrzano 69 razy

Trochę niedokładny, ale jest . Zaznaczyłam kąty: \(\displaystyle{ \alpha \angle BSC}\) i \(\displaystyle{ \beta \angle OES}\). 1/4 przekątnej podstawy to odcinek \(\displaystyle{ |OE|}\). Zaś żółty trójkąt to płaszczyzna nachylona do podstawy pod kątem beta. Czyli powracając do zadania:
\(\displaystyle{ tg\beta=\frac{H}{x}=\frac{|SO|}{|OE|}}\). :]

[damianate]

Dzieki wielkie:) Naprawde bardzo mi pomoglas:)
Pozdrawiam

[tal rash]

Tez chcialem zrobic to zadanie ale wynik w ksiażce mam inny mianowicie:

\(\displaystyle{ tg\beta= \frac{ \sqrt{ 2 ft(1-tg^{2}\ \frac{\alpha}{2}\right) }}{tg \frac{\alpha}{2} }}\)