Objętość ostrosłupa

[gosieniac]

Ostrosłup prawidłowy trójkątny i stożek mają wspolny wierzchołek a podstawa stożka jest wpisana w podstawę ostrosłupa. Kąt rozwarcia stożka ma miarę 120 stopni a tworząca ma długość 4. Oblicz objętość ostrosłupa.

[yorgin]

Wysokość stożka, tworząca i promień podstawy tworzą trójkąt prostokątny o kątach \(\displaystyle{ 30^0,60^0,90^0}\)
Wobec tego wysokość z własności takiego trójkąta wynosi \(\displaystyle{ h=2}\)
Stąd np z Pitagorasa czy po prostu wzoru promień podstawy to \(\displaystyle{ r=2\sqrt{3}}\)
Jeśli teraz przez \(\displaystyle{ a}\) oznaczymy bok podstawy ostrosłupa to
\(\displaystyle{ r=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{2}{3}}\)
Stąd wyliczasz łatwo a. Podstawa to trójkąt równoboczny więc \(\displaystyle{ P=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}\)
Potem objętość już łatwo policzyć.

[pawelsz]

\(\displaystyle{ r=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{2}{3}}\)

mały błąd nie \(\displaystyle{ \frac{2}{3}}\), a \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\)

pozdrawiam!