Czworościan - wyznaczyć stosunek.

[Wider]

Mam duży problem. Niedawno dostałem do rozwiązania zadanie z matematyki, ktorego nie umiem rozgryźć.

Na krawędziach DA, DB, DC czworościanu ABCD płaszczyzna α wyznacza punkty A1, B1, C1 takie, że:

\(\displaystyle{ \frac{|DA_1|}{|DA|}=P}\), \(\displaystyle{ \frac{|DB_1|}{|DB|}=G}\), \(\displaystyle{ \frac{|DC_1|}{|DC|}=R}\)

Znaleźć stosunek, w którym α dzieli DM, gdzie M jest punktem przecięcia środkowych ABC

Prosze o pomoc w rozwiązaniu tego zadania

[W_Zygmunt]

Aby znaleźć |MD| musimy najpierw wyznaczyć |ND|.

Z \(\displaystyle{ \bigtriangleup ACD}\) wyznaczmy
\(\displaystyle{ \cos(\angle DAC)}\)
następnie z
\(\displaystyle{ \bigtriangleup AND}\)
wyliczamy |ND|.

Podobnie z \(\displaystyle{ \bigtriangleup NBD \, i \,\bigtriangleup NMD}\)
wyliczamy długość odcinka łączącego przecięcie środkowych M z wierzchołkiem D.
(jako funkcję długości krawędzi czworościanu).
Będzie jeszcze nam potrzebna długość |NB| (środkowa w \(\displaystyle{ \bigtriangleup ABC}\)).
Następnie wyznaczmy stosunek
\(\displaystyle{ \frac{|DN_{1}|}{|DN|}}\)
W tym celu w \(\displaystyle{ \bigtriangleup ACD}\) korzystamy z twierdzenia Talesa i z podobieństwa
\(\displaystyle{ \bigtriangleup A_{1}C_{2}N_{1} \,i\, \bigtriangleup A_{2}C_{1}N_{1}}\).
Mnie wyszło
\(\displaystyle{ \frac{|DN_{1|}}{|DN|}\,=\, \frac{ P^{2} + R^{2} }{ P + R }}\)

Teraz analogicznie wyznaczymy
\(\displaystyle{ \frac{|DM_{1}|}{|DM|}}\)
pamiętając, że
\(\displaystyle{ \frac{|NM|}{|NB|}\,=\,\frac{1}{3}}\)



Innym podejściem do rozwiązania tego zagadnienia, byłoby skorzystanie z układu współrzędnych.

Najlepiej ustawić czworościan wierzchołkiem w początku układu, Wtedy
\(\displaystyle{ \vec{DA_{1}}\,=\,P\cdot \vec{DA}}\)
a punkt
\(\displaystyle{ A_{1}(p\cdot x_{A},p\cdot y_{A},p\cdot z_{A})}\)

Przez punkty
\(\displaystyle{ A_{1},B_{1},C_{1}}\)
piszemy równanie płaszczyzny
a przez punkty P i M, równanie prostej np. parametryczne.
Oczywiści wcześniej wyznaczając współrzędne punktu M.
Znajdujemy punkt
\(\displaystyle{ M_{1}}\)
przebicia prostej i płaszczyzny, a wartość parametru będzie szukanym stosunkiem.