Wyznacz cosinus

[edsoon]

Graniastosłup prawidłowy czworokątny przecięto płaszczyzną przechodzącą przez jeden z wierzchołków podstawy, otrzymując w przekroju romb o kącie ostrym \(\displaystyle{ \alpha}\) . Wyznacz \(\displaystyle{ cos\beta}\), gdzie \(\displaystyle{ \beta}\) jest kątem nachylenia płaszczyzny przekroju do płaszczyzny podstawy bryły.

[kujdak]

W trójkącie ABP kąt BAP to ten nasz \(\displaystyle{ \beta}\)
Romb - kąt ostry również przy wierzchołku A (pomarańczowym kolorem jest narysowany przekrój rombu)

Przekątna podstawy graniastosłupa jest kwadratem to przekątna ma \(\displaystyle{ a\sqrt {2}}\) a połowa przekątnej to \(\displaystyle{ 0,5 a\sqrt {2}}\)

Romb dzieli się na dwa trójkąty równoramienne, więc podstawa (również krótsza przekątna) ma dł. \(\displaystyle{ a\sqrt{2}}\)
Wycinamy ten trójkąt, szukamy wysokości (połowa dłuższej przekątnej rombu)
\(\displaystyle{ tg\frac{\alpha}{2}=\frac{0,5 \sqrt{2}}{h} h=\frac{0,5 a \sqrt{2}}{tg \frac{\alpha}{2}}}\)

i mamy \(\displaystyle{ cos\beta =
\frac{0,5a \sqrt{2}}{h} \\
cos\beta = tg\frac {\alpha}{2}}\)