Ostrosłup prawidłowy trójkątny ...

[Katarzynka1989]

Pole powierzchni całkowitej prawidłowego ostrosłupa trójkątnego równa się \(\displaystyle{ 144\sqrt{3}}\) a pole jego powierzchni bocznej \(\displaystyle{ 96 \sqrt{3}}\) . Oblicz jego objętość.

Proszę o pomoc

Zapisuj całe wyrażenie w klamrach \(\displaystyle{ !
Szemek}\)

[bladetern]

a - krawedz boczna
h - wysokosc sciany bocznej
H - wysokosc ostroslupa

\(\displaystyle{ 144 \sqrt{3}-96 \sqrt{3}= \frac{ a^{2} \sqrt{3} }{4}}\), z tego wychodzi \(\displaystyle{ a=8 \sqrt{3}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} * 8 \sqrt{3} *h=32 \sqrt{3}}\) => \(\displaystyle{ h=8}\)
i juz tylko wysokosc ostroslupa (H) z pitagorasa \(\displaystyle{ H^{2} =64-( \frac{1}{3} * \frac{8 \sqrt{3}* \sqrt{3} }{2}) ^{2}}\)

majac wszystko podstawiasz do wzoru na objetosc i wychodzi V=192

[Szemek]

\(\displaystyle{ P_p}\) - pole podstawy
\(\displaystyle{ P_c}\) - pole całkowite
\(\displaystyle{ P_b}\) - pole powierzchni bocznej

\(\displaystyle{ P_p=P_c-P_b \\
P_p=144\sqrt{3}-96\sqrt{3} \\
P_p=48\sqrt{3} \\
P_p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4} \\
\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=48\sqrt{3} \\
a^2=192 \\
a=8\sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ P_s}\) - pole ściany bocznej
\(\displaystyle{ h_s}\) - wysokość ściany bocznej

\(\displaystyle{ P_b=3P_s \\
96\sqrt{3}=3P_s \\
P_s=32\sqrt{3} \\
P_s=\frac{a h_s}{2} \\
32\sqrt{3}=\frac{8\sqrt{3} h_s}{2} \\
h_s=8}\)


\(\displaystyle{ |DE|=h_s=8}\)
Odcinek \(\displaystyle{ |EF|}\) jest równy \(\displaystyle{ \frac{1}{3}}\) wysokości podstawy.
\(\displaystyle{ |EF|=\frac{1}{3} \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}}\)
\(\displaystyle{ |EF|=4}\)
z tw. Pitagorasa:
\(\displaystyle{ |DF|=\sqrt{|DE|^2-|EF|^2} \\
|DF|=\sqrt{8^2-4^2} \\
|DF|=4\sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ V=\frac{P_p |DF|}{3} \\
V=\frac{48\sqrt{3} 4\sqrt{3}}{3} \\
V=192}\)