ostrosłup prawidłowy trójkątny

[luk122003]

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego; w którym krawędź podstawy a=6cm; a kąt pomiędzy płaszczyzną ściany bocznej a płaszczyzną podstawy α=60°.

[Konikov]

Oznaczamy kąty podstawy jako A,B,C, a wierzchołek jako D. Punkt łączący wysokość ostrosłupa H z podstawą jako O. Wysokość podstawy \(\displaystyle{ h}\) to

• \(\displaystyle{ h = \frac{a \sqrt{3} }{2} = 3 \sqrt{3}}\)

a odległość od O do płaszczyzny ściany bocznej (przyjmijmy E jako punkt gdzie wysokość podstawy łączy się z przeciwległym bokiem):

• \(\displaystyle{ |OE| = \frac{1}{3}h = \sqrt{3}}\)

Z własności trójkąta 30,60,90:

• \(\displaystyle{ H = 3}\)

Wysokość ściany bocznej \(\displaystyle{ h _{b} = 2\sqrt{3}}\) - również z własności trójkąta 30,60,90.
Pole trójkąta równobocznego: \(\displaystyle{ P = \frac{a ^{2} \sqrt{3}}{4}}\)

• \(\displaystyle{ V = \frac{1}{3}*\frac{6 ^{2} \sqrt{3}}{4}*3 = 9 \sqrt{3}}\)
  \(\displaystyle{ P _{pow} = \frac{a ^{2} \sqrt{3}}{4} + 3*\frac{1}{2}h _{b}*6 = 15 \sqrt{3}}\)