W trójkąt wpisano kwadrat.
W trójkąt wpisano kwadrat.
W trójkąt równoboczny o boku długości 6 cm wpisano kwadrat. Oblicz pole tego kwadratu.
-
escargot
- Użytkownik
- Posty: 477
- Rejestracja: 30 paź 2007, o 17:35
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 52°N, 21°E
- Podziękował: 14 razy
- Pomógł: 143 razy
W trójkąt wpisano kwadrat.
oznaczmy długość boku kwadratu jako \(\displaystyle{ a}\)
trójkąt, który powstał na kwadracie też jest równoboczny
wierzchołek kwadratu podzielił ramię trójkąta na odcinki o długościach: \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ 6-a}\)
policzmy długość \(\displaystyle{ x}\) małego odcinka powstałego w podstawie, z Pitagorasa:
\(\displaystyle{ (6-a)^{2}=a^{2}+x^{2}}\)
\(\displaystyle{ x=\sqrt{36-12a}}\)
teaz wyraźmy długość podstawy w taki sposób:
\(\displaystyle{ 2x+a=6}\)
\(\displaystyle{ 2\sqrt{36-12a}=6-a}\) , obustronnie do kwadratu
...
i ostatecznie \(\displaystyle{ a=6(2\sqrt{3}-3)}\)
\(\displaystyle{ P=a^{2}}\)
trójkąt, który powstał na kwadracie też jest równoboczny
wierzchołek kwadratu podzielił ramię trójkąta na odcinki o długościach: \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ 6-a}\)
policzmy długość \(\displaystyle{ x}\) małego odcinka powstałego w podstawie, z Pitagorasa:
\(\displaystyle{ (6-a)^{2}=a^{2}+x^{2}}\)
\(\displaystyle{ x=\sqrt{36-12a}}\)
teaz wyraźmy długość podstawy w taki sposób:
\(\displaystyle{ 2x+a=6}\)
\(\displaystyle{ 2\sqrt{36-12a}=6-a}\) , obustronnie do kwadratu
...
i ostatecznie \(\displaystyle{ a=6(2\sqrt{3}-3)}\)
\(\displaystyle{ P=a^{2}}\)