ostrosłup wpisany w sfere

[mat1989]

Ostrosłup prawidłowy trójkątny, o podstawie a wpisany jest w sfere, przy czym środek tej sfery dzieli wysokość ostrosłupa w stosunku \(\displaystyle{ \sqrt{5}:1}\). licząc od wierzchołka. Oblicz objętość tego ostrosłupa.

[Szemek]

Obróćmy ostrosłup względem osi zawierającej wysokość.
Powstanie nam stożek. Zróbmy przekrój osiowy tego stożka.

Długość promienia podstawy stożka jest równa promieniowi okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa.
\(\displaystyle{ |AD|=|DB|=\frac{a\sqrt{3}}{3}}\)
\(\displaystyle{ |SD|+|SC|=h \\
h=|SD|+\sqrt{5}\cdot |SD| \\
h= |SD| (1+\sqrt{5})}\)

\(\displaystyle{ \frac{|CS|}{|SD|}=\sqrt{5} \\
|CS|=\sqrt{5}\cdot |SD|}\)
\(\displaystyle{ |CS|=|AS|=|BS|}\)
z tw. Pitagorasa:
\(\displaystyle{ |SD|^2+|DB|^2=|BS|^2 \\
|DB|^2=4|SD|^2 \\
|DB|=2|SD| \\ \\
|SD|=\tfrac{1}{2}|DB| \\
h = \tfrac{1+\sqrt{5}}{2}|DB| \\
h = \frac{1+\sqrt{5}}{2} \frac{a\sqrt{3}}{3} \\
h = \frac{a\sqrt{3}(1+\sqrt{5})}{6}}\)

\(\displaystyle{ P_p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}\)

\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3} \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \frac{a\sqrt{3}(1+\sqrt{5})}{6} \\
V=\frac{a^3(1+\sqrt{5})}{24}}\)