Witam. Bardzo proszę o rozwiązanie tych zadań. Z góry dziękuję.
Zad. 1
Kąt między tworzącą stożka a jego podstawą jest równy \(\displaystyle{ \beta}\). Oblicz objętość tego stożka jeżeli \(\displaystyle{ sin\beta=0,6}\), a tworząca jest równa \(\displaystyle{ 15 \ cm}\).
Zad. 2
Kąt rozwarcia stożka ma miarę \(\displaystyle{ 60°}\), a pole powierzchni bocznej jest równe \(\displaystyle{ 8 \pi cm^{2}}\). Oblicz objętość tego stożka.
Zad. 3
Oblicz ile razy zwiększy się pole powierzchni kuli, a ile razy jej objętość jeżeli promień kuli wzrośnie pięciokrotnie.
Zad. 4
Oblicz promień i objętość kuli wpisanej w sześcian, jeżeli długość przekątnej sześcianu jest równa 8.
Zad. 5
Oblicz objętość sześcianu, na którym opisano kulę o promieniu 2.
Stereometria - 5 zadań
-
scyth
- Użytkownik
- Posty: 6392
- Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1087 razy
Stereometria - 5 zadań
1.
Tworząca stożka, wysokość oraz promień podstawy tworzą trójkąt prostokątny. Z podanych danych:
\(\displaystyle{ \sin \beta = \frac{h}{d} \\
0,6=\frac{h}{15} \\
h=9 \\
r=\sqrt{d^2-h^2} = 12}\)
Masz już promień i wysokość potrzebne do obliczenia objętości.
[ Dodano: 27 Lutego 2008, 11:35 ]
2.
Ze wzoru na kąt rozwarcia stożka:
\(\displaystyle{ \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{r}{h} = \frac{r}{\sqrt{d^2-r^2}} \\
\sqrt{d^2-r^2}=r\sqrt{3} \\
d^2=4r^2 \\
d=2r \\
\\
P_b=\pi r d = 2 \pi r^2 \\
8 \pi = 2 r^2 \\
r=2}\)
Mając promień możesz już wyliczyć wysokość (pierwszy wzór) i stąd objętość.
[ Dodano: 27 Lutego 2008, 11:38 ]
3.
Stara objętość - \(\displaystyle{ \frac{4}{3} \pi r^3}\)
Nowa objętośc - \(\displaystyle{ \frac{4}{3} \pi (5r)^3 = 125 \frac{4}{3} \pi r^3}\)
Stąd \(\displaystyle{ \frac{125 \frac{4}{3} \pi r^3}{\frac{4}{3} \pi r^3} = 125}\) - objętość wzrosła 125 razy.
Tworząca stożka, wysokość oraz promień podstawy tworzą trójkąt prostokątny. Z podanych danych:
\(\displaystyle{ \sin \beta = \frac{h}{d} \\
0,6=\frac{h}{15} \\
h=9 \\
r=\sqrt{d^2-h^2} = 12}\)
Masz już promień i wysokość potrzebne do obliczenia objętości.
[ Dodano: 27 Lutego 2008, 11:35 ]
2.
Ze wzoru na kąt rozwarcia stożka:
\(\displaystyle{ \tan \frac{\alpha}{2} = \frac{r}{h} = \frac{r}{\sqrt{d^2-r^2}} \\
\sqrt{d^2-r^2}=r\sqrt{3} \\
d^2=4r^2 \\
d=2r \\
\\
P_b=\pi r d = 2 \pi r^2 \\
8 \pi = 2 r^2 \\
r=2}\)
Mając promień możesz już wyliczyć wysokość (pierwszy wzór) i stąd objętość.
[ Dodano: 27 Lutego 2008, 11:38 ]
3.
Stara objętość - \(\displaystyle{ \frac{4}{3} \pi r^3}\)
Nowa objętośc - \(\displaystyle{ \frac{4}{3} \pi (5r)^3 = 125 \frac{4}{3} \pi r^3}\)
Stąd \(\displaystyle{ \frac{125 \frac{4}{3} \pi r^3}{\frac{4}{3} \pi r^3} = 125}\) - objętość wzrosła 125 razy.
Ostatnio zmieniony 28 lut 2008, o 11:15 przez scyth, łącznie zmieniany 1 raz.
-
scyth
- Użytkownik
- Posty: 6392
- Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1087 razy
Stereometria - 5 zadań
a - bok sześcianu
przekątna podstawy (która jest kwadratem) to \(\displaystyle{ a\sqrt{2}}\)
przekątna sześcianu to przeciwprostokątna trójkątna - jedną z przyprostokątnych jest wysokość ściany bocznej, a drugą przekątna podstawy, czyli:
\(\displaystyle{ d=\sqrt{a^2+(a\sqrt{2})^2}=\sqrt{a^2+2a^2}=a\sqrt{3}}\)
4.
\(\displaystyle{ a\sqrt{3}=8 \\
a=\frac{8\sqrt{3}}{3} \\}\)
Promień jest równy połowie krawędzi, zatem \(\displaystyle{ r=\frac{4\sqrt{3}}{3}}\).
5.
Przekątna w takim sześcianie jest równa średnicy kuli, zatem:
\(\displaystyle{ 2r=a\sqrt{3} \\
4=a\sqrt{3} \\
a=\frac{4\sqrt{3}}{3}}\)
przekątna podstawy (która jest kwadratem) to \(\displaystyle{ a\sqrt{2}}\)
przekątna sześcianu to przeciwprostokątna trójkątna - jedną z przyprostokątnych jest wysokość ściany bocznej, a drugą przekątna podstawy, czyli:
\(\displaystyle{ d=\sqrt{a^2+(a\sqrt{2})^2}=\sqrt{a^2+2a^2}=a\sqrt{3}}\)
4.
\(\displaystyle{ a\sqrt{3}=8 \\
a=\frac{8\sqrt{3}}{3} \\}\)
Promień jest równy połowie krawędzi, zatem \(\displaystyle{ r=\frac{4\sqrt{3}}{3}}\).
5.
Przekątna w takim sześcianie jest równa średnicy kuli, zatem:
\(\displaystyle{ 2r=a\sqrt{3} \\
4=a\sqrt{3} \\
a=\frac{4\sqrt{3}}{3}}\)