Ostrosłup prawidłowy czworokątny

[Kamilka54]

Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi \(\displaystyle{ 10cm}\) i jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \(\displaystyle{ 60 ^{o}}\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

[lukasz1804]

Niech \(\displaystyle{ a, h}\) oznaczają krawędź podstawy i wysokość ostrosłupa odpowiednio.
Zauważmy, że dany kąt \(\displaystyle{ 60^{o}}\) jest kątem w trójkącie prostokątnym między przeciwprostokątną - krawędzią boczną ostrosłupa długości 10 cm a przyprostokątną będącą połową przekątnej podstawy, czyli \(\displaystyle{ \frac{a\sqrt{2}}{2}}\); drugą przyprostokątną tego trójkąta stanowi wysokość \(\displaystyle{ h}\) ostrosłupa.
Z definicji kosinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym mamy \(\displaystyle{ \frac{a\sqrt{2}}{2}=10\cdot\cos 60^{o}=5 cm}\). Zatem \(\displaystyle{ \frac{a^2}{2}=(\frac{a\sqrt{2}}{2})^2=25}\), czyli \(\displaystyle{ a^2=50 cm^2}\). Podobnie z definicji sinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym mamy \(\displaystyle{ h=10\cdot\sin 60^{o}=5\sqrt{3} cm}\).
Stąd i ze wzoru na objętość \(\displaystyle{ V}\) ostrosłupa mamy \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}\cdot a^2\cdot h=\frac{250\sqrt{3}}{3} cm^3}\)