Czworościan foremny

[Kamilka54]

Oblicz objętość czworościanu foremnego, którego pole powierzchni wynosi \(\displaystyle{ 4\sqrt{3}}\)

[lukasz1804]

Niech \(\displaystyle{ a, h}\) będą krawędzią i wysokością czworościanu odpowiednio.
Ponieważ czworościan jest zbudowany z 4 przystających trójkątów równobocznych, więc ze wzoru na pole trójkąta równobocznego mamy \(\displaystyle{ 4\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}}\), czyli \(\displaystyle{ a=2}\).
Wysokość h czworościanu jest przyprostokątną w trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej \(\displaystyle{ a}\) i drugiej przyprostokątnej równej promieniowi okręgu opisanego na dowolnej ze ścian czworościanu, czyli \(\displaystyle{ \frac{a\sqrt{3}}{3}}\). Stąd i z twierdzenia Pitagorasa mamy

\(\displaystyle{ h=\sqrt{a^2-(\frac{a\sqrt{3}}{3})^2}=\sqrt{\frac{2}{3}a^2}=\sqrt{\frac{8}{3}}}\).

Stąd i ze wzoru na objętość ostrosłupa mamy \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot h=\frac{2\sqrt{2}}{3}}\).