W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym, którego wszystkie krawędzie maja długość a poprowadzono płaszczyznę przechodząca przez krawędź podstawy i środek przeciwległej krawędzi boczniej. wyznacz cosinus kąta alfa pod którym jest nachylona płaszczyzna przekroju do płaszczyzny podstawy.
Proszę o pomoc.
W ostrosłupiie...
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
W ostrosłupiie...
Ostrosłup trójkątny o wszystkich krawędziach jednakowej długości jest czworościanem foremnym.
Otrzymany przekrój jest trójkątem równoramiennym o podstawie \(\displaystyle{ a}\) i o ramionach \(\displaystyle{ \frac{a\sqrt{3}}{2}}\) (ściany boczne są trójkątami równobocznymi o boku \(\displaystyle{ a}\), a w trójkącie rónobocznym wysokości są jednocześnie środkowym boków).
Wyznaczmy długość \(\displaystyle{ h}\) wysokości w tym trójkącie (w przekroju) opuszczonej na podstawę.
Z twierdzenia Pitagorasa mamy \(\displaystyle{ h=\sqrt{(\frac{a\sqrt{3}}{2})^2-(\frac{a}{2})^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}}\).
Stąd i z twierdzenia kosinusów w trójkącie o bokach \(\displaystyle{ \frac{a}{2},\frac{a\sqrt{2}}{2},\frac{a\sqrt{3}}{2}}\) otrzymujemy
Otrzymany przekrój jest trójkątem równoramiennym o podstawie \(\displaystyle{ a}\) i o ramionach \(\displaystyle{ \frac{a\sqrt{3}}{2}}\) (ściany boczne są trójkątami równobocznymi o boku \(\displaystyle{ a}\), a w trójkącie rónobocznym wysokości są jednocześnie środkowym boków).
Wyznaczmy długość \(\displaystyle{ h}\) wysokości w tym trójkącie (w przekroju) opuszczonej na podstawę.
Z twierdzenia Pitagorasa mamy \(\displaystyle{ h=\sqrt{(\frac{a\sqrt{3}}{2})^2-(\frac{a}{2})^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}}\).
Stąd i z twierdzenia kosinusów w trójkącie o bokach \(\displaystyle{ \frac{a}{2},\frac{a\sqrt{2}}{2},\frac{a\sqrt{3}}{2}}\) otrzymujemy
\(\displaystyle{ (\frac{a}{2})^2=(\frac{a\sqrt{2}}{2})^2+(\frac{a\sqrt{3}}{2})^2-2\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}\cos\alpha}\),
skąd \(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{\sqrt{6}}{3}}\).