ostrosłup prawidłowy czworokątny

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
margolcia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 16 lut 2008, o 09:40
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: daleka
Podziękował: 1 raz

ostrosłup prawidłowy czworokątny

Post autor: margolcia »

1. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt między płaszczyznami sąsiednich ścian bocznych wynosi \(\displaystyle{ 120}\). Oblicz kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy.


2. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna tworzy z krawędzią podstawy kąt \(\displaystyle{ \alpha}\).
a) znajdź cosinus kąta między ścianami bocznymi tego ostrosłupa.
b) oblicz objętość ostrosłupa, wiedząc dodatkowo, że pole jego powierzchni bocznej jest równe 4S.

Proszę podsuńcie mi pomysł jak to zrobić.
lukasz1804
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

ostrosłup prawidłowy czworokątny

Post autor: lukasz1804 »

Wprowadxmy oznaczenia do obydwu zadań.
Niech \(\displaystyle{ a}\) będzie krawędzią podstawy, \(\displaystyle{ b}\)- krawędzią boczną, \(\displaystyle{ h}\)- wysokością ściany bocznej. Oczywiście każda ze ścian bocznych ostrosłupa jest trójkątem równoramiennym. Możemy zatem oznaczyć przez \(\displaystyle{ c}\) wysokość tego trójkąta poprowadzoną do ramienia \(\displaystyle{ b}\), tj. do krawędzi bocznej.
Kąt między płaszczyznami sąsiednich ścian bocznych to kąt między ramionami w trójkącie o bokach \(\displaystyle{ a\sqrt{2}, c, c}\).
1. Z twierdzenia kosinusów w tym trójkącie mamy \(\displaystyle{ (a\sqrt{2})^2=2c^2-2c^2\cos 120}\), więc
\(\displaystyle{ a=\frac{c\sqrt{6}}{2}}\).
Z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego do ściany bocznej mamy
\(\displaystyle{ b^2=(\frac{a}{2})^2+h^2}\).
Ponadto z porównania wzorów na pole trójkąta \(\displaystyle{ \frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}bc}\) dostajemy
\(\displaystyle{ ah=bc}\).
Stąd mamy \(\displaystyle{ \frac{c\sqrt{6}}{2}h=bc}\), czyli \(\displaystyle{ b=\frac{h\sqrt{6}}{2}}\). Wstawiając to do drugiego wzoru otrzymujemy \(\displaystyle{ \frac{3}{2}h^2=\frac{a^2}{4}+h^2}\), tzn. \(\displaystyle{ a=h\sqrt{2}}\).
Niech teraz \(\displaystyle{ \alpha}\) będzie szukanym kątem nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy. Wówczas z definicji kosinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym dostajemy \(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{\frac{1}{2}a}{h}=\frac{a}{2h}=\frac{\sqrt{2}}{2}}\), czyli \(\displaystyle{ \alpha=45}\) st.

2. a) Niech teraz \(\displaystyle{ \beta}\) będzie szukanym kątem między ścianami bocznymi. W myśl przyjętych oznaczeń mamy z twierdzenia kosinusów
\(\displaystyle{ a^2=c^2(1-\cos\beta)}\).
Z definicji sinusa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym jest \(\displaystyle{ h=b\sin\alpha}\). Stąd i z równości \(\displaystyle{ ah=bc}\) mamy \(\displaystyle{ c=a\sin\alpha}\). Zatem \(\displaystyle{ a^2=a^2\sin^2\alpha(1-\cos\beta)}\), czyli \(\displaystyle{ 1-\cos\beta=\frac{1}{\sin^2\alpha}}\). W konsekwencji mamy \(\displaystyle{ \cos\beta=1-\frac{1}{\sin^2\alpha}}\).

b) Z określenia S oraz z faktu, że pole boczne stanowią pola 4 przystających trójkątów mamy ze wzoru na pole trójkąta \(\displaystyle{ ah=2S}\).
Z definicji tangensa kąta ostrego w trójkącie prostokątnym mamy \(\displaystyle{ h=\frac{a}{2}tg\alpha}\). Niech \(\displaystyle{ H}\) będzie wysokością ostrosłupa. Wtedy z twierdzenia Pitagorasa ammy \(\displaystyle{ h^2=\frac{a^2}{4}+H^2}\). Stąd
\(\displaystyle{ H=\frac{a}{2}\sqrt{tg^2\alpha-1}}\)
oraz
\(\displaystyle{ a=2\sqrt{S\cdot tg\alpha}}\).
Ze wzoru na objętość ostrosłupa dostajemy
\(\displaystyle{ V=\frac{a^2\sqrt{3}}{12}H=\frac{1}{3}\sqrt{S^3\cdot tg^3\alpha(tg^2\alpha-1)}}\).
Pozdrawiam.
margolcia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 43
Rejestracja: 16 lut 2008, o 09:40
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: daleka
Podziękował: 1 raz

ostrosłup prawidłowy czworokątny

Post autor: margolcia »

wielkie DZIĘKI
ODPOWIEDZ