2 zadania - stożek & graniastosłup

[Ag5]

Zad. 1

Tego zadania po prostu nie umiem rozwiązać:
W stożku o promieniu podstawy \(\displaystyle{ r}\) i wysokości mającej długość \(\displaystyle{ 3r}\) umieszczono ostrosłup \(\displaystyle{ ABOS}\) w ten sposób, że wierzchołek \(\displaystyle{ S}\) jest równocześnie wierzchołkiem stożka, wierzchołek \(\displaystyle{ O}\) jest środkiem podstawy stożka, a wierzchołki \(\displaystyle{ A}\), \(\displaystyle{ B}\) sa końcami jednej z cięciw podstawy stożka. Oblicz objętość ostrosłupa, wiedząc, że pole ściany \(\displaystyle{ ABS}\) jest równe \(\displaystyle{ r^{2}}\)
Tyle co się domyślam to:
\(\displaystyle{ l}\) - tworząca stożka
\(\displaystyle{ l=r\sqrt{10}}\)
\(\displaystyle{ |AO| = |BO| = r}\)
Więc wiem, że trójkąty ABO i ABS są równoramienne, a cała trudność zadania polega na obliczeniu wysokości trójkąta AB. Jakieś układy równań (tw. Pitagorasa + to pole co mam) też robię, ale nic specjalnego z nich nie wynika :/

Zad.2

Przekątna ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego ma długość \(\displaystyle{ l}\) i jest nachylona do drugiej ściany bocznej pod kątem \(\displaystyle{ \beta}\). Oblicz objętość graniastosłupa.

Z drugim zadaniem mam taki problem, że nie jestem pewien jednej rzeczy - czy ten dany kąt to po prostu kąt między przekątnymi ścian bocznych, bo tak zakładam, ale odpowiedź nie wychodzi mi taka jak ma być. Dlatego, jeśli to możliwe prosiłbym też o podanie rozwiązania.

[Mortify]

zad 2
nie jestem pewnien czy dobrze zrobilem drugie więc podam tylko odpowiedź a Ty powiedz czy dobra:
\(\displaystyle{ \frac{sin^{2}\beta cos\beta l^{3} \sqrt{3} }{4}}\)

[ Dodano: 20 Lutego 2008, 00:13 ]
a co do Zad 1 to sobie pomyslalem ze \(\displaystyle{ |BA| = 2r sin\alpha}\) gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) jest to połowa kąta miedzy ramionami boków w podstawie ostrosłupa
i z tego można coś pokombinować

[Ag5]

zad 2
nie jestem pewnien czy dobrze zrobilem drugie więc podam tylko odpowiedź a Ty powiedz czy dobra:
\(\displaystyle{ \frac{sin^{2}\beta cos\beta l^{3} \sqrt{3} }{4}}\)

[ Dodano: 20 Lutego 2008, 00:13 ]
a co do Zad 1 to sobie pomyslalem ze \(\displaystyle{ |BA| = 2r sin\alpha}\) gdzie \(\displaystyle{ \alpha}\) jest to połowa kąta miedzy ramionami boków w podstawie ostrosłupa
i z tego można coś pokombinować

W tym 2 zadaniu powinno być:
\(\displaystyle{ V = \frac{l^{3}\sqrt{3}}{3}sin^{2}\beta\sqrt{cos^{2}\beta - \frac{sin^{2}\beta}{3}}}\)

A odpowiedx do 1 zadania to:
\(\displaystyle{ V = r^{3}\sqrt{18\sqrt{6} - 44}}\)

A tak w ogóle, to mam strasznie dziwną książkę. Te zadania są ocenione przez autorów jako poziom niższy niż an maturze, a jak rozwiązuje zadania ze starych arkuszy to są o wiele prostsze

[bakos3321]

... a0a65.html
\(\displaystyle{ sin\beta=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{l} a=\frac{2\sqrt{3}sin\beta}{3}}\)
\(\displaystyle{ l^{2}=a^{2}+H^{2} H=l\sqrt{\frac{3-4sin^{2}\beta}{3}}}\)
Jak weźmiesz z odpowiedzi pod pierwiastkiem zamiast \(\displaystyle{ cos^{2}\beta}\) wstawisz \(\displaystyle{ 1-sin^{2}\beta}\) wyjdzie \(\displaystyle{ \frac{3-4sin^{2}\beta}{3}}\).
\(\displaystyle{ V=\frac{\sqrt{3}l^{3}sin^{2}\beta}{3} \sqrt{\frac{3-4sin^{2}\beta}{3}}}\)
Pozdrawiam.

[Mortify]

Zad 1
tak jak napisałem wcześniej wykorzystać należy fakt iż \(\displaystyle{ |BA| = 2r sin\alpha}\)
\(\displaystyle{ h}\)-wysokość trójkąta ABS
\(\displaystyle{ h^{2}=10r^{2}-r^{2}sin^{2}\alpha}\)
\(\displaystyle{ h= \sqrt{r^{2}(10-sin^{2}\alpha}}\)
\(\displaystyle{ P_{ABS}= \frac{1}{2} h*2r sin\alpha}\)
\(\displaystyle{ P_{ABS}=r^{2}}\)
\(\displaystyle{ r^{2}= \frac{1}{2} \sqrt{r^{2}(10-sin^{2}\alpha)} * 2r sin\alpha}\)
\(\displaystyle{ r= sin \sqrt{r^{2}(10-sin^{2}\alpha)}}\)
\(\displaystyle{ r^{2} = sin^{2}\alpha * r^{2} (10-sin^{2}\alpha)}\)
\(\displaystyle{ 1=10sin^{2}\alpha-sin^{4}\alpha}\)
\(\displaystyle{ sin^{2}\alpha = t, 0 qslant t qslant 1}\)
\(\displaystyle{ t^{2} - 10t + 1 =0}\)
liczymy delte..to juz pominę bo za duzo pisania;p wychodzi jeden pierwiastek bo drugi jest sprzeczny z założeniami:
\(\displaystyle{ t=5- 2\sqrt{6}}\)
\(\displaystyle{ sin\alpha = \sqrt{5- 2\sqrt{6}} sin\alpha=-\sqrt{5- 2\sqrt{6}}}\)
mozna uogólnić,ponieważ miary kątów będą takie same czyli:
\(\displaystyle{ sin = \sqrt{5- 2\sqrt{6}}}\)
\(\displaystyle{ |AB|=2r\sqrt{5- 2\sqrt{6}}}\)
\(\displaystyle{ h_{p}}\) - wysokość podstawy
\(\displaystyle{ h_{p}^{2} = r^{2} - r^{2}(5-2 \sqrt{6}}\)
\(\displaystyle{ h_{p}=r \sqrt{2 \sqrt{6}-4 }}\)
\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3}*3r* \frac{1}{2}*2r \sqrt{5- 2\sqrt{6}} * r\sqrt{2 \sqrt{6}-4 }}\)
\(\displaystyle{ V=r^{3} \sqrt{(5-2 \sqrt{6})(2 \sqrt{6} -4) }}\)
\(\displaystyle{ V=r^{3} \sqrt{18 \sqrt{6}-44 }}\)

[Ag5]

bakos3321, Mortify, dziękuję