Oblicz promien i wysokosc puszki

[Gh00st]

Jaka wysokość i jaki promień powinna mieć puszka na konserwy w kształcie walca o objętości 128pi \(\displaystyle{ cm^{3}}\), aby na jej wykonanie zużyć jak najmniej materiału?

[escargot]

\(\displaystyle{ V=128 \pi}\)
\(\displaystyle{ V=\pi r^{2}h}\)
\(\displaystyle{ h=\frac{128}{r^2}}\)

\(\displaystyle{ P_{c}=2P_{p}+P_{b}}\)
\(\displaystyle{ P_{c}=2\pi r^{2}+2\pi rh}\)
\(\displaystyle{ P_{c}=2\pi r(r+h)}\)

\(\displaystyle{ f(h)=2\pi r(r+\frac{128}{r^{2}})}\)
\(\displaystyle{ f(h)=2\pi r ^{2}+\frac{256\pi}{r}}\)

\(\displaystyle{ f'(h)=4\pi r-\frac{256\pi}{r^{2}}}\)
\(\displaystyle{ f'(h)=\frac{4\pi( r^{3}-64)}{r^{2}}}\)

liczymy minimum:
\(\displaystyle{ r^{3}-64=0}\)
\(\displaystyle{ r=4 \ cm}\)

\(\displaystyle{ h=\frac{128}{4^2}}\)
\(\displaystyle{ h=8 \ cm}\)

[Gh00st]

\(\displaystyle{ f(h)=2\pi r(r+\frac{128}{r^{2}})}\)
\(\displaystyle{ f(h)=2\pi r ^{2}+\frac{256\pi}{r}}\)

\(\displaystyle{ f'(h)=4\pi r-\frac{256\pi}{r^{2}}}\)
\(\displaystyle{ f'(h)=\frac{4\pi( r^{3}-64)}{r^{2}}}\)

nie rozumiem tego zapisu :

\(\displaystyle{ f'(h)=4\pi r-\frac{256\pi}{r^{2}}}\)
\(\displaystyle{ f'(h)=\frac{4\pi( r^{3}-64)}{r^{2}}}\)

możesz mi wytłumaczyć?

[escargot]

oczywiście
kiedy już przedstawimy promień w funkcji wysokości, to aby znaleźć najmniejszy promień trzeba wyznaczyć najmniejszą wartość funkcji \(\displaystyle{ f(h)}\).
\(\displaystyle{ f'(h)}\) oznacza pochodą funkcji \(\displaystyle{ f(h)}\), a funkcja osiąga ekstremum (w tym przypadku minimum) kiedy \(\displaystyle{ f'(h)=0}\).
wyrażenia \(\displaystyle{ 4\pi , r^{2}}\) sa stale dodatnie, więc możemy je pominąc przy przyrównywaniu do 0 , bo nie wpłyną nam na znak pochodnej

[Gh00st]

dzięki bardzo