objętość ostrosłupa opisanego na stożku a wpisanego

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
lustysia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 33
Rejestracja: 3 lis 2007, o 13:08
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 17 razy

objętość ostrosłupa opisanego na stożku a wpisanego

Post autor: lustysia »

Ile razy objętość ostrosłupa trójkątnego prawidłowego opisanego na stożku o objętości \(\displaystyle{ V}\) jest większa od objętości ostrosłupa trójkątnego prawidłowego wpisanego w ten stożek?
Awatar użytkownika
Mortify
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 768
Rejestracja: 22 lis 2007, o 22:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / MIMUW
Podziękował: 27 razy
Pomógł: 164 razy

objętość ostrosłupa opisanego na stożku a wpisanego

Post autor: Mortify »

\(\displaystyle{ V_{1} = \frac{1}{3} P_{m} * H}\) - objetosc ostroslupa opisanego
\(\displaystyle{ V_{2} = \frac{1}{3} P_{d} * H}\) - objetosc ostroslupa wpisanego
jak widzimy wystarczy porównać pola podstaw - trójkątów:

\(\displaystyle{ P_{m}= \frac{1}{2} ah}\) - pole mniejszego trójkąta
\(\displaystyle{ \frac{2}{3} h = r}\)
\(\displaystyle{ h= \frac{a\sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ h= \frac{3}{2} r}\)
\(\displaystyle{ \frac{3r}{2}=\frac{a\sqrt{3} }{2}}\)
\(\displaystyle{ a= \sqrt{3} r}\)
\(\displaystyle{ P_{m} = \frac{3 \sqrt{3} }{4} r^{2}}\)

\(\displaystyle{ P_{d}= \frac{bd}{2}}\) , gdzie b-podstawa trójkąta a d wysokość
\(\displaystyle{ \frac{d}{3} = r}\)
\(\displaystyle{ d=3r}\)
\(\displaystyle{ b= 2\sqrt{3} r}\)
\(\displaystyle{ P_{d}=3 \sqrt{3} r^{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{ \frac{1}{3}H*\frac{3 \sqrt{3} }{4} r^{2} }{\frac{1}{3}H*3 \sqrt{3} r^{2}} = \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ V_{2} = 4 V_{1}}\)
ODPOWIEDZ