Graniastosłup

[Kamil_dobry]

Wyznacz objętość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego wiedząc, że jego pole powierzchni bocznej wynosi \(\displaystyle{ 18cm^{2}}\) i długość najdłuższej przekątnej wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{13} cm}\)

[Justka]

a- krawędź podstawy
H- wysokość
\(\displaystyle{ \begin{cases} 6aH=18 \\ (2a)^2+H^2=(\sqrt{13})^2 \end{cases}}\)
Rozwiązujesz układ równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} H=\frac{3}{a} \\ 4a^2+ (\frac{3}{a})^2=13 \end{cases}}\)
Drugie równanie mnozymy obustronnie przez \(\displaystyle{ a^2}\) i mamy:
\(\displaystyle{ 4a^4-13a^2+9=0\\
t=a^2 \iff 4t^2-13t+9=0}\)
Otrzymalismy zwykłe równanie kwadratowe:
\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta}=5\\
t_1=1 t_2=\frac{9}{4} \iff a_1=1 a_2=\frac{3}{2}}\)
Teraz wyznaczamy wysokość:
\(\displaystyle{ H=3 H=\frac{3}{\frac{3}{2}}=2}\)
I podstawiasz do wzoru na objętość:
\(\displaystyle{ V=6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}H}\)
:]