Ostrosłup

[Kamil_dobry]

Ostrosłup prawidłowy trójkątny o wszystkich krawędziach równych 6cm ścięto w 1/3 wysokości płaszczyzną równoległa do podstawy. Oblicz objętość powstałego ostrosłupa ściętego.

[Pablo09]

Wyokości trójkąta w podstawie mają \(\displaystyle{ 3 \sqrt{3}}\). Odległośc od krawędzi wynosi \(\displaystyle{ \frac{2}{3}*3 \sqrt{3} =2 \sqrt{3}}\) Teraz łątwo można policzyc wysokosć ostrosłupa z Pitagorasa:
\(\displaystyle{ (2 \sqrt{3}) ^{2}+h ^{2} =6 ^{2}}\)
\(\displaystyle{ h ^{2}=24}\)
\(\displaystyle{ h=2 \sqrt{6}}\)
Czyli wysokość sciętego ostrosłupa ma \(\displaystyle{ \frac{2 \sqrt{6} }{3}}\), natomiast krawędzie 2cm. Zatem objętość wynosi
\(\displaystyle{ V= \frac{a ^{2} \sqrt{3} }{12} *h}\)
\(\displaystyle{ V= \frac{4 \sqrt{3} }{12}* \frac{2 \sqrt{6} }{3}}\)
\(\displaystyle{ V= \frac{2 \sqrt{18} }{9}= \frac{6 \sqrt{2} }{9}= \frac{2 \sqrt{2} }{3}}\)
II sposób
Stosunek objętośći brył podobnych wynosi \(\displaystyle{ k ^{3}}\), czyli \(\displaystyle{ k= \frac{1}{3}}\)
\(\displaystyle{ k ^{3} = \frac{1}{27}}\)
\(\displaystyle{ V= \frac{36 \sqrt{3} }{4} * \frac{1}{3}*2 \sqrt{6}}\)
\(\displaystyle{ V=18 \sqrt{2}}\)
czyli \(\displaystyle{ V _{2} = \frac{1}{27}*18 \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ V _{2}= \frac{2 \sqrt{2} }{3}}\)