Kula

[panzam]

Błagam o szybką pomoc! cokolwiek

Płaszczyzna dzieli powierzchnię kuli w stosunku 1:2. W jakim stosunku dzieli objętość??

[mat1989]

ma ktoś jakiś pomysł jak w prosty sposób rozwiązać to zadanie?

[Szemek]

Pole powierzchni czaszy:
\(\displaystyle{ P=2\pi Rh}\)
Objętość czaszy:
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{2}\pi r^2h+\frac{1}{6}\pi h^3}\)

Rozwiązanie:
\(\displaystyle{ \frac{2\pi Rh}{2\pi R(2R-h)}=\frac{1}{2} \\
\frac{h}{2R-h}=\frac{1}{2} \\
2h=2R-h \\
2R=3h \\
R=\frac{3}{2}h}\)
z tw. Pitagorasa:
\(\displaystyle{ R^2=(R-h)^2+r^2 \\
r^2=R^2-(R-h)^2 \\
r^2=\frac{9}{4}h^2-\frac{1}{4}h^2 \\
r=h\sqrt{2}}\)
Objętość mniejszej czaszy:
\(\displaystyle{ V_1=\frac{1}{2}\pi r^2h+\frac{1}{6}\pi h^3 \\
V_1=\frac{1}{2}\pi 2h h + \frac{1}{6}\pi h^3 \\
V_1=\frac{7}{6}\pi h^3}\)
Objętość większej czaszy:
\(\displaystyle{ V_2=\frac{1}{2}\pi r^2(2R-h)+\frac{1}{6}\pi (2R-h)^3 \\
V_2=\frac{1}{2}\pi 2h 2h + \frac{1}{6}\pi (2h)^3 \\
V_2=\frac{20}{6}\pi h^3}\)

\(\displaystyle{ \frac{V_1}{V_2}=\frac{\frac{7}{6}\pi h^3}{\frac{20}{6}\pi h^3} \\
\frac{V_1}{V_2}=\frac{7}{20}}\)

[mat1989]

ok dziękuję Szemek,
ale te wzory na objętość i pole czaszy to wziąłeś z jakiś tablic tak?

[Szemek]

mat1989, tak, wzór z tablic
zastanowię się, może jeszcze znajdę jakiś inny sposób na to zadanie