objętość prostopadłościanu

[LySy007]

Podstawą prostopadłościanu \(\displaystyle{ ABCDA_{1} B_{1} C_{1} D_{1}}\) jest kwadrat \(\displaystyle{ ABCD}\) o boku długości 10 cm. Punkt \(\displaystyle{ K}\) jest środkiem krawędzi \(\displaystyle{ AB}\). Miara kąta, jaki tworzy prosta \(\displaystyle{ KD_{1}}\) z płaszczyzną zawierającą ścianę \(\displaystyle{ CC_{1} DD_{1}}\), jest równa \(\displaystyle{ 30^{o}}\). Oblicz objętość prostopadłościanu.

[arpa007]

kat z plaszczyzna czyli inaczej kat z krawedzia DD' (tak mi sie przynajmniej wydaje
mamy trojkat prostokatny o katach 30 i 90-30=60
boki: \(\displaystyle{ 10^{2}+5^{2}=5 \sqrt{5}}\), podstawa trojkata, H wyznaczymy z f.trygonometrycznych
\(\displaystyle{ tg60^{o}= \frac{H}{5 \sqrt{5}}\\H=tg60^{o} \cdot 5 \sqrt{5}=5 \sqrt{15}\\V=Pp \cdot H=a^{2} \cdot H=10 \cdot 5 \sqrt{15}=50 \sqrt{15}(cm^{3}) \approx 193,6(cm^{3})}\)

zgadza sie:/ ??

[bosa_Nike]

Kąt między prostą \(\displaystyle{ l}\), a płaszczyzną \(\displaystyle{ \pi}\) mierzymy w płaszczyźnie \(\displaystyle{ \pi^{\prime}: l\subset \pi^{\prime}\ \ \pi^{\prime}\perp \pi}\).

Niech \(\displaystyle{ K_1}\) będzie środkiem odcinka \(\displaystyle{ CD}\) - wtedy kąt dany w zadaniu to kąt \(\displaystyle{ \angle KD_1K_1}\).

Wówczas \(\displaystyle{ |KK_1|=10\ \ |KD_1|=\frac{|KK_1|}{\sin 30^{\circ}}=20}\) oraz \(\displaystyle{ |KD|=\sqrt{|KK_1|^2+|K_1D|^2}=5\sqrt 5}\), stąd \(\displaystyle{ |DD_1|=\sqrt{|KD_1|^2-|KD|^2}=5\sqrt{11}}\) oraz \(\displaystyle{ V=500\sqrt{11}}\).