ostrosłup prawidłowy czworokątny o najmniejszej objętości

[DoMini1606]

Jak znaleźć ostrosłup prawidłowy czworokątny opisany na kuli o promieniu r, któy ma najmniejszą objetość?

Domyślam się, że może to być taki ostrosłup, który ma wszystkie krawędzie równej długości, ale po pierwsze nie wiem czy myślę dobrze, a po drugie nie mam pojęcia jak do tego dojść.

[Sylwek]

Było ciężko . Zauważ, że promień okręgu wpisanego w ten ostrosłup leży na prostej prostopadłej do płaszczyzny podstawy i przechodzącej przez środek podstawy (bo to kwadrat). Najważniejsze dla zadania jest dostrzeżenie tego trójkąta:


Gdzie B to środek podstawy, odcinek AB jest połową boku kwadratu, AC jest wysokością ostrosłupa oraz \(\displaystyle{ ED=DA=r}\). Należy zauważyć, że trójkąty \(\displaystyle{ ABC}\) i \(\displaystyle{ EDC}\) są podobne. Niech:
\(\displaystyle{ AB=\frac{a}{2} \\ AC=h \\ BC=\frac{\frac{a}{2}}{\sqrt{\frac{a^2}{4}+h^2}}}\)

Z podobieństwa trójkątów:
\(\displaystyle{ \frac{ED}{DC}=\frac{AB}{BC} \\ \frac{r}{|h-r|}=\frac{\frac{a}{2}}{\sqrt{\frac{a^2}{4}+h^2}}}\)

Tu mi się odechciewa przepisania na komputer (więc obliczenia dla Ciebie ), wychodzi w każdym razie, że:
\(\displaystyle{ a^2=\frac{4r^2h^2}{h^2-2hr}}\)

Teraz podstawiamy do wzoru na objętość:
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}a^2h=\frac{1}{3} \frac{4r^2h^2}{h^2-2hr} h=\frac{1}{3} \frac{4r^2h^2}{h-2r}}\)

Zauważamy, że \(\displaystyle{ V=V_{min} \iff \frac{h^2}{h-2r}=min}\)

Niech: \(\displaystyle{ f(h)= \frac{h^2}{h-2r}}\).

Liczymy pochodną:
\(\displaystyle{ f'(h)=\frac{h(h-4r)}{(h-2r)^2}}\)

Łatwo określić, że dla \(\displaystyle{ h=4r}\) funkcja przyjmuje minimum lokalne . Teraz nie powinno być już problemu z dalszą częścią zadania - wychodzi \(\displaystyle{ a=2\sqrt{2}r}\).

[DoMini1606]

Dzięki Ci wielkie. Przeanalizowałam i przeliczyłam i faktycznie tak wychodzi. Nie znam jednak jeszcze pochodnych (nie miałam jeszcze), więc nie bardzo wiem dlaczego trzeba ją tu zastosować i jak ją policzyć. (podziwiam, że Ty, młodszy ode mnie, jesteś bardziej zorientowany) Analizowałam definicje i przykłady, ale jakoś mi to nie idzie... Jakbyś mógł mi tak po krótce wyjaśnić o co z tym chodzi w tym przykładzie byłabym wdzięczna.

[Sylwek]

Funkcja pochodna to funkcja obrazująca tempo zmiany funkcji. Pokrótce - jeśli pochodna jest ujemna w danym przedziale, to w tym przedziale funkcja maleje. Jeśli jest dodatnia - funkcja rośnie. Jeśli np. w lewostronnym sąsiedztwie danego punktu maleje, a w prawostronnym rośnie, to znaczy, że w tym punkcie funkcja przyjmuje minimum (logiczne ) i tak właśnie jest w naszym przykładzie. Pochodne są zwykle używane do zadań optymalizacyjnych (takie jak to) lub do badania przebiegu zmienności funkcji. Ja się uczyłem z podręcznika do 3 LO Kłaczkowa, następnie po zrozumieniu teorii (tzn. przeczytanie, przeanalizowanie przykładów) zrobiłem trochę ćwiczeń z podręcznika i na tym opieram swoją wiedzę . W każdym podręczniku powinno to być dość dobrze wytłumaczone, jednak to wymaga czasu, bez pośpiechu, wszystko da się zrozumieć . Dasz radę.

[DoMini1606]

Dzięki za odpowiedź. Z czasem zrozumię. Jak na razie jednak znalazłam w tym przykładzie inny sposób na policzenie minimum tej funkcji: po prostu przyrównałam ją do m, przekształciłam w równanie kwadratowe z niewiadomą h i parametrem m i wyznaczyłam, dla jakich parametrów m równanie to ma jakiekolwiek rozwiązanie. Najmniejsza, zgodna z założeniami, wartość tego parametru to najmniejsza wartość tej funkcji. Teraz zostało już tylko policzyć jakie będzie w tym przypadku h. Wyszło dokładnie to samo.