Geometria przestrzenna

[ewkaj89]

1. Odcinek długości 18cm przebija płaszczyznę \(\displaystyle{ \pi}\) . Odległość końców tego odcinka od płaszczyzny wynosi 5cm i 4 cm. Wyznacz miarę kąta \(\displaystyle{ \alpha}\) między tym odcinkiem a płaszczyzną.




2. Jedna z przyprostokątnych trójkąta prostokątnego równoramiennego leży w płaszczyźnie \(\displaystyle{ \pi}\) a druga tworzy z płaszczyzną \(\displaystyle{ \pi}\) kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) = \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\) . Jaki kąt tworzy przeciwprostokątna trójkąta z płaszczyzną?

[Ag5]

Co do pierwszego zadania mam taką koncepcję (ostrzegam, ze może to być bez sensu ; )):
Taki rysunek pomocniczy:
Zapominamy o płaszczyźnie i zamiast tego rysujemy prostą k.
Potem odcinek |AB| do niej prostopadły o długości 4 cm (punkt A leży na prostej k) i następny odcinek długości 18 cm o początku w punkcie B przecinający prostą k w punkcie E i o końcu w punkcie C. Rysujemy odcinek |CD| prostopadły do prostej k (punkt D leży na prostej k), który powinien mieć długość 5 cm.
Z rysunku widać, że trójkąty ABE i CDE są podobne w skali 1,25 a więc długość odcinka |BE| to (4/9)*18cm = 8 cm, a długość odcinka |EC| to (5/9)*18cm = 10 cm.
A więc:
\(\displaystyle{ sin \angle AEB = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} = sin\frac{\pi}{6}}\)
\(\displaystyle{ sin \angle CED = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} = sin\frac{\pi}{6}}\)

A więc szukany kąt to:
\(\displaystyle{ \frac{\pi}{6}}\)