walec w stożku optymalizacyjne

[Mariannn]

Dany jest stożek, którego tworząca ma długość 6 cm, a wysokość 4 cm. Oblicz, jakie maksymalne pole powierzchni bocznej ma walec wpisany w ten stożek.

[lukasz1804]

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ R,r,h}\) promień podstawy stożka, promień podstawy walca oraz wysokość walca odpowiednio. Rozważmy przekrój osiowy stożka i wpisany w niego przekrój osiowy walca. Łatwo zauważamy z twierdzenia Talesa, że

\(\displaystyle{ \frac{4-h}{r}=\frac{4}{R}}\).

Jednak z twierdzenia Pitagorasa mamy \(\displaystyle{ R=\sqrt{6^2-4^2}=2\sqrt{5}}\). Zatem \(\displaystyle{ 4r=8\sqrt{5}-2h\sqrt{5}}\), czyli \(\displaystyle{ 2r=4\sqrt{5}-h\sqrt{5}=(4-h)\sqrt{5}}\). Oczywiście \(\displaystyle{ r>0}\), więc \(\displaystyle{ 0}\)