Prostopadłościan ma krawędzi długości x i 4 krawędzie długości 2x. Oblicz największą możliwą objętość takiego prostopadłościanu jeśli jest on zawarty w półkuli o promieniu 15cm.
-------
Proszę o rozwiązanie, co prawda rozwiązałem ale strasznie łopatologicznie(chyba) czyli rozpatrując dwie możliwości : podstawa to x na x lub x na 2x. Z góry dziękuję za odpowiedź.
pozdrawiam
Prostopadłościan w półkuli
Prostopadłościan w półkuli
Ma 8 krawedzi x. Podstawa prostopadloscianu, aby mial jak jawieksza objetosc musi byc prostokat o bokach 2x i x (lopatologicznie - wykorzystujesz "najszersza" przestrzen przy podstawie polkuli). Wysokosc tego prostopadloscianu to x. Promien 15 cm prowadzimy ze srodka podstawy prostokata do wierzcholka, ktory przylega do sfery.
Srodkiem podstawy jest oczywiscie miejsce przeciecia jego przekatnych.
Aby wyliczyc x obliczamy z pitagora najpierw polowe dl. przekatnej (d) podstawy.
\(\displaystyle{ \frac{(2x)^{2}+x^{2}=d^{2}}{2} \frac{d}{2}= \frac{x \sqrt{5} }{2}}\)
Z pitagorasa suma kwadratow polowy przekatnej podstawy i wysokosci prostopadlopadloscianu jest rowna kwadratowi promienia polkuli
\(\displaystyle{ (\frac{x \sqrt{5} }{2})^2 + x^2 = 15^2 x=10}\)
\(\displaystyle{ V = x^2 * 2x V = 100 * 20 = 2000[cm ^{3}]}\)
Srodkiem podstawy jest oczywiscie miejsce przeciecia jego przekatnych.
Aby wyliczyc x obliczamy z pitagora najpierw polowe dl. przekatnej (d) podstawy.
\(\displaystyle{ \frac{(2x)^{2}+x^{2}=d^{2}}{2} \frac{d}{2}= \frac{x \sqrt{5} }{2}}\)
Z pitagorasa suma kwadratow polowy przekatnej podstawy i wysokosci prostopadlopadloscianu jest rowna kwadratowi promienia polkuli
\(\displaystyle{ (\frac{x \sqrt{5} }{2})^2 + x^2 = 15^2 x=10}\)
\(\displaystyle{ V = x^2 * 2x V = 100 * 20 = 2000[cm ^{3}]}\)