Kula
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Kula
Oznaczmy przez \(\displaystyle{ r,h,l}\) długość promienia podstawy, wysokości oraz tworzącej stożka.
Z założenia i ze wzoru na objętość kuli mamy
Ze wzoru na pole powierzchni bocznej stożka i pole koła mamy
Stąd i z twierdzenia Pitagorasa dostajemy \(\displaystyle{ (3r)^2=l^2=h^2+r^2}\). Zatem \(\displaystyle{ h=2r\sqrt{2}=2^{\frac{3}{2}}r}\).
Stąd i z równości \(\displaystyle{ 4=r^2h}\) mamy \(\displaystyle{ r^3=\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}}\), więc \(\displaystyle{ r=\sqrt[6]{2}=2^{\frac{1}{6}}}\).
W konsekwencji \(\displaystyle{ h=\frac{4}{r^2}=\frac{2^2}{(2^{\frac{1}{6}})^2}=2^{\frac{10}{6}}=2^{\frac{5}{3}}=\sqrt[3]{2^5}=\sqrt[3]{32}}\).
Z założenia i ze wzoru na objętość kuli mamy
\(\displaystyle{ \frac{4}{3}\pi 1^3=\frac{1}{3}\pi r^2h}\),
a stąd \(\displaystyle{ 4=r^2h}\).Ze wzoru na pole powierzchni bocznej stożka i pole koła mamy
\(\displaystyle{ P_b=\pi rl=3\pi r^2=3P_p}\),
czyli \(\displaystyle{ l=3r}\).Stąd i z twierdzenia Pitagorasa dostajemy \(\displaystyle{ (3r)^2=l^2=h^2+r^2}\). Zatem \(\displaystyle{ h=2r\sqrt{2}=2^{\frac{3}{2}}r}\).
Stąd i z równości \(\displaystyle{ 4=r^2h}\) mamy \(\displaystyle{ r^3=\sqrt{2}=2^{\frac{1}{2}}}\), więc \(\displaystyle{ r=\sqrt[6]{2}=2^{\frac{1}{6}}}\).
W konsekwencji \(\displaystyle{ h=\frac{4}{r^2}=\frac{2^2}{(2^{\frac{1}{6}})^2}=2^{\frac{10}{6}}=2^{\frac{5}{3}}=\sqrt[3]{2^5}=\sqrt[3]{32}}\).