Dane są walec i dwa stożki

[wharton]

Podstawa pierwszego stożka jest dolna podstawą walca, podstawa drugiego stożka jest górna podstawa walca, ponadto stożki mają wspólny wierzchołek leżący we wnętrzu walca. Oblicz stosunek sumy objetości stozków do objetosci walca.

[Rogal]

Wiemy więc, że suma wysokości tych stożków jest równa wysokości walca: \(\displaystyle{ H=h_{1}+h_{2}}\)

Zapisujemy więc objętości danych brył, przyjmując, że r to promień podstawy:

\(\displaystyle{ V_{1} = \frac{1}{3}\pi r^{2}h_{1} \\ V_{2} = \frac{1}{3}\pi r^{2}h_{2} \\ V = \pi r^{2}H}\)

Teraz sumujemy objętości stożków i porównujemy do objętości walca:

\(\displaystyle{ \large \frac{V_{1}+V_{2}}{V} = \frac{\frac{1}{3}\pi r^{2}h_{1}+ \frac{1}{3}\pi r^{2}h_{2}}{\pi r^{2}H} = \frac{\frac{1}{3}\pi r^{2}(h_{1}+h_{2})}{\pi r^{2}H} = \frac{\frac{1}{3}H}{H} = \frac{1}{3}}\)

[hUmanitO]

wzor na objetosc stozka to
\(\displaystyle{ \frac{1}{3}\pi r^{2}h}\)
pole obu stozkow wiec:
\(\displaystyle{ \frac{1}{3}\pi r^{2}h_{1} + \frac{1}{3}\pi r^{2}h_{2}}\)
co jest rownoznaczne z:
\(\displaystyle{ \frac{1}{3}\pi r^{2}(h_{1} + h_{2})}\)
a pole walca to:
\(\displaystyle{ \pi r^{2}(h_{1}+h_{2})}\)
wiec stosunek to:
\(\displaystyle{ \frac{\frac{1}{3}\pi r^{2}(h_{1} + h_{2})}{\pi r^{2}(h_{1}+h_{2})}=\frac{1}{3}}\)