Graniastosłup prawidłowy - kąt pomiędzy przekatnymi, długość

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
sopi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 88
Rejestracja: 11 lut 2007, o 12:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Z kielc
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 7 razy

Graniastosłup prawidłowy - kąt pomiędzy przekatnymi, długość

Post autor: sopi »

1.W prawidłowym graniastosłupie czworokątnym \(\displaystyle{ ABCDA _{1} B _{1} C _{1} D _{1}}\) przekątne \(\displaystyle{ B_{1}D}\) i \(\displaystyle{ D_{1}B}\) są do siebie prostopadłe. Wyznacz miarę kąta, pod jakim przecinają się przekątne \(\displaystyle{ A_{1}C}\) i \(\displaystyle{ B_{1}D}\).
2. Podstwą graniastosłupa prostego jest równoległobok o bokach dł. 6 cm i 8cm oraz przekątnej dł. 12 cm. Wysokość graniastosłupa ma 5cm dł.. Wyznacz długość przekątnych graniastosłupa.
raphel
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 657
Rejestracja: 9 gru 2007, o 12:27
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Czewa/Wrocław
Podziękował: 84 razy
Pomógł: 138 razy

Graniastosłup prawidłowy - kąt pomiędzy przekatnymi, długość

Post autor: raphel »

2. Oznaczam równoległobok w podstawie ABCD
Przekątne równoległoboku przecinają się w punkcie O
Jedną przekątną graniastosłupa nie trudno obliczyć, wystarczy zastosować twierdzenie Pitagorasa, czyli
\(\displaystyle{ d _{1} ^{2} = ft|AC \right| ^{2} + H ^{2} ,
d _{1} = 13}\)


obliczam drugę przekątną podstawy, korzystam z twierdzenia cosinusów, obliczając\(\displaystyle{ cos ACB}\),
\(\displaystyle{ 8 ^{2}=12 ^{2} +6 ^{2} - 24 6 cos ACB, cos ACB= \frac{29}{36}}\)

korzystam drugi raz z twierdzenia cosinusów, by obliczyć bok OB, który jest połową drugiej przekątnej OB=x, DB=2OB
\(\displaystyle{ x ^{2}= 6 ^{2}+ 6 ^{2} - 36 2 cos ACB, x= \sqrt{14} BD=2 \sqrt{14}}\)
i teraz z twierdzenia pitagorasa drugą przekątną graniastosłupa
\(\displaystyle{ d _{2} ^{2} = H ^{2}+ DB ^{2} , d _{2} =9}\)
ODPOWIEDZ