Wyznacz wymiary walca wpisanego w kulę o promieniu R tak...

[łódek]

Wyznacz wymiary walca wpisanego w kulę o promieniu R tak, aby jego objętość była maksymalna. Ile razy objętość kuli jest większa od objętości walca?

Proszę o jakieś wskazówki, bo narazie jestem na etapie wzoru na objętość kuli i walca

[dabros]

musisz uzależnić wymiary walca od promienia kuli, następnie policzyć pochodną z objętości walca i przyrównać ją do zera

[łódek]

A co mi da przyrównanie pochodnej objętości walca do zera?

Wiesz jak połączyć te wymiary walca??

[dabros]

promień podstawy walca \(\displaystyle{ r}\), wysokość: \(\displaystyle{ h=2\sqrt{R^{2}-r^{2}}\), gdzie \(\displaystyle{ R}\) to promień kuli
jak wyliczysz pochodną, to otrzymasz funkcję kwadratową - jak przyrownasz do zera to otrzymasz miejsce zerowe, ktore bedzie jej rozwiazaniem (bierzesz tylko to dodatnie)

[darkangel36]

chyba chodzi tutaj u obliczenie ekstremum, w tym przypadku maximum

[łódek]

no też tak myślę

[dabros]

a do czego niby służy pierwsza pochodna, o której pisałem ?

[łódek]

\(\displaystyle{ \frac{1}{2}h= \sqrt{ R^{2}-r^{2} }}\)

A jak ci to wyszło??

[dabros]

środek wysokości będzie pokrywał się z środkiem kuli (jeśli mówimy o wysokości leżącej na osi obrotu walca); wtedy wystarczy dorysować oba promienie i zauważyć trójkąt prostokątny

[łódek]

left(2pi r sqrt{R^2-r^2}
ight)^{prime} = 2 pi frac{r(2R^2-3r^2)}{sqrt{R^2-r^2} }

Ale przecież \(\displaystyle{ V={\pi} r^{2} 2 \sqrt{ R^{2} - r^{2} }}\)
Znowu coś mi nie pasuje

[dabros]

obliczenie pochodnej ma na celu znalezienie ekstremum funkcji (w tym wypadku: wartości największej), którą funkcja przyjmuje w miejscu zerowym;
wracając do obliczenia pochodnej mamy:
\(\displaystyle{ V'=2r\frac{2(R-r)}{2\sqrt{R^{2}-r^{2}}}=0 2(R-r)=0 r=R}\)
gdyż zakładamy, że wielkości w zadaniu są dodatnie

[łódek]

1)

obliczenie pochodnej ma na celu znalezienie ekstremum funkcji (w tym wypadku: wartości największej), którą funkcja przyjmuje w miejscu zerowym;
wracając do obliczenia pochodnej mamy:
\(\displaystyle{ V'=2r\frac{2(R-r)}{2\sqrt{R^{2}-r^{2}}}=0 2(R-r)=0 r=R}\)
gdyż zakładamy, że wielkości w zadaniu są dodatnie

Skąd wiesz, że jest to ekstremum (maksimum), a nie minimum??

2) Czyli co? Największa będzie objętość kiedy promień walca= promieniowi kuli?

3) Czy wogóle ta pochodna jest obliczona dobrze? Mi wychodzi:
\(\displaystyle{ V'=2r \frac{1}{ ( R^{2}- r^{2}) ^{2} }}\)

[dabros]

1) jedna z wartości to maksimum, a druga to minimum:
\(\displaystyle{ V'=0 r=0 r=R}\)
oczywiste jest, która z możliwości wyznacza maksimum
2)TAK
\(\displaystyle{ 3)(\sqrt{a})'=\frac{a'}{2\sqrt{a}}}\)
więc nie wiem, jak doszedłeś do takiej postaci, jaką proponujesz

[łódek]

V'=0 r=0 r=R

A skąd Ci się to wzięło??

Jak r=0 to 2R=0 -> R=0, a tak chyba nie moze byc?

[dabros]

dlatego właśnie ten przypadek odrzucamy jako minimum, które nie ma fizycznej interpretacji (przecież promień kuli nie może być zerowy)
dlatego właśnie prawidłowa jest odpowiedź r=R - jeśli chcesz dowiedzieć się więcej, otwórz podręcznik do 3 klasy szkoły średniej i poczytaj o pochodnych - powinien być tam przykład zadania optymalizacyjnego