oblicz pole powierzchni całkowitej graniastosłupa

[magnolia17]

Podstawą graniastoslupa prostego jest trapez równoramienny w którym |AD|=|BC|=13cm,
|CD|=11cm , |AB|=21cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej jesli wiesz że pole przekroju zawierające pole przeciwleglych podstaw jest równe 240 \(\displaystyle{ cm^{2}}\)

[lukasz1804]

Oczywiście dany przekrój jest trapezem równoramiennym o podstawach równych podstawom danego trapezu.
Niech \(\displaystyle{ h, h_1, H}\) oznaczają odpowiednio wysokość trapezu ABCD, wysokość trapezu będącego przekrojem oraz wysokość graniastosłupa odpowiednio.
Łatwo sprawdzamy, że długość \(\displaystyle{ h}\) wysokości trapezu ABCD wynosi 12 cm.
Ponadto mamy \(\displaystyle{ 240=\frac{1}{2}(11+21)h_1}\), więc długość \(\displaystyle{ h_1}\) wynosi 15 cm.
Rozważmy teraz trójkąt o bokach \(\displaystyle{ h,h_1,H}\). Jest to trójkąt prostokątny, więc z twierdzenia Pitagorasa mamy \(\displaystyle{ H=\sqrt{h_1^2-h^2}=9 cm}\).
Wyznaczmy teraz pole trapezu ABCD, czyli jednej podstawy graniastosłupa.
Ze wzoru na pole trapezu mamy \(\displaystyle{ P_p=\frac{1}{2}(11+21)h=192 cm^2}\).
Pole powierzchni bocznej składa się z prostokątów o wspólnej szerokości równej wysokości H trapezu i o długościach równych długościom poszczególnych boków trapezu ABCD. Zatem pole powierzchni bocznej jest równe

\(\displaystyle{ P_b=(11+21+13+13)H=522 cm^2}\).

W konsekwencji pole powierzchni całkowitej graniastosłupa wynosi \(\displaystyle{ P_c=2P_p+P_b=906 cm^2}\).