Wysokość prawidłowego ostrosłupa czworokątnego

[sweetdream52]

Wysokość prawidłowego ostrosłupa czworokątnego ma długość H. Wysokość ściany bocznej tworzy z płaszczyzną podstawy kąt \(\displaystyle{ \frac{\pi}{3}}\). Oblicz długość krawędzi bocznej ostrosłupa.

[Szemek]

\(\displaystyle{ |AE|=b}\)
\(\displaystyle{ |EG|=h_s}\)
\(\displaystyle{ |FG|=|GA|=\frac{a}{2}}\)
\(\displaystyle{ \sin \frac{\pi}{3} = \frac{H}{h_s}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{H}{h_s}}\)
\(\displaystyle{ h_s=\frac{2\sqrt{3}}{3}H}\)
\(\displaystyle{ \tan \frac{\pi}{3} = \frac{H}{\frac{1}{2}a}}\)
\(\displaystyle{ \sqrt{3}= \frac{H}{\frac{1}{2}a}}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}a= \frac{\sqrt{3}}{3}H}\)
z tw. Pitagorasa:
\(\displaystyle{ b^2= ft(\frac{\sqrt{3}}{3}H \right)^2 + ft(\frac{2\sqrt{3}}{3} H \right)^2}\)
\(\displaystyle{ b^2= \frac{1}{3}H^2 + \frac{4}{3}H^2}\)
\(\displaystyle{ b^2= \frac{5}{3}H^2}\)
\(\displaystyle{ b=\frac{\sqrt{15}}{3}H}\)

[sweetdream52]

DZiękuję