Kule wpisane w stożek - obl. sumę objętości kul

vip1986 · Post autor: **vip1986** » 1 maja 2005, o 07:57

Zad

W stożek o promieniu podstawy r i wysokości h wpisano kulę. Następnie wpisano drugą kulę styczną zewnętrznie do kuli poprzedniej oraz do powierzchni bocznej stożka, następnie trzecią i tak dalej. Obliczyć sumę objętości wszystkich wpisanych kul.

Z góry wielkie dzięki za wszelkie wskazówki.

paulgray · Post autor: **paulgray** » 1 maja 2005, o 12:24

zróbmy przekrój osiowy
zauważ, że pierwsza kula ma prmień równy \(\displaystyle{ r'=\frac{rh}{r+h}}\). kolejna kula wpisana jest już w trójkąt równoboczny podobny do trójkąta wyściowego (przekroju osiowego stożka) w skali \(\displaystyle{ k=\frac{R-r'}{R}}\) gdzie R oznacza promień koła opisanego na przekroju osiowym stożka (\(\displaystyle{ R=\frac{r^{2}+h^{2}}{2h}}\). Promienie każdej kolejnej kuli wyznaczasz w ten sposób-następnie zauważasz że objętości tych kul tworzą niesk ciąg geom i obliczasz sumę

olazola · Post autor: **olazola** » 1 maja 2005, o 14:23

A kto powiedział, że wyjściowy trójkąt jest równoboczny?

paulgray · Post autor: **paulgray** » 1 maja 2005, o 15:36

tfu-sorki-mój błąd-miałem na myśli równoramienny-zwykła pomyłka-sposób się nie zmienia
olazola, thx za zauważenie