W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym pole ściany bocznej jest cztery razy większe od pola podstawy. Oblicz cosinus kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi tego ostrosłupa.
Niby policzyłam to zadanie, ale wychodzi mi inny wynik niż w odpowiedzi, dlatego proszę o pomoc bo może zrobiłam gdzieś błąd albo wogóle źle zrobiłam
ostrosłup trójkątny, cos kąta między ścianami bocznymi
- sea_of_tears
- Użytkownik
- Posty: 1641
- Rejestracja: 2 lis 2007, o 20:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Śląsk
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 548 razy
-
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
ostrosłup trójkątny, cos kąta między ścianami bocznymi
Oznaczmy przez \(\displaystyle{ a,b,h}\) odpowiednio krawędź podstawy, krawędź boczną i wysokość ściany bocznej.
Z założenia mamy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}ah=4\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}\), czyli
Wówczas szukany kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem płaskim w trójkącie równoramiennym o bokach \(\displaystyle{ a,c,c}\) zawartym miedzy ramionami.
Z twierdzenia kosinusów otrzymujemy \(\displaystyle{ a^2=2c^2-2c^2\cos\alpha}\), więc
Z założenia mamy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}ah=4\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}\), czyli
\(\displaystyle{ h=2a\sqrt{3}}\).
Niech \(\displaystyle{ c}\) będzie wysokością ściany bocznej, poprowadzoną do krawędzi bocznej.Wówczas szukany kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem płaskim w trójkącie równoramiennym o bokach \(\displaystyle{ a,c,c}\) zawartym miedzy ramionami.
Z twierdzenia kosinusów otrzymujemy \(\displaystyle{ a^2=2c^2-2c^2\cos\alpha}\), więc
\(\displaystyle{ a=c\sqrt{2}(1-\cos\alpha)}\).
Jednak porównując wzory na pole trójkąta mamy dla ściany bocznej ostrosłupa równość: \(\displaystyle{ \frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}bc}\), czyli \(\displaystyle{ ah=bc}\).
Z twierdzenia Pitagorasa dostajemy ponadto zależność między \(\displaystyle{ a,b,h}\) postaci \(\displaystyle{ b^2=\frac{a^2}{4}+h^2}\). Zestawiając wszystkie otrzymane wzory mamy kolejno \(\displaystyle{ b^2=\frac{a^2}{4}+12a^2=\frac{49a^2}{4}}\), czyli \(\displaystyle{ b=\frac{7}{2}a}\); stąd \(\displaystyle{ h=\frac{7}{2}c}\). Z drugiej strony, \(\displaystyle{ h=2c\sqrt{6}(1-\cos\alpha)}\). W konsekwencji \(\displaystyle{ \frac{7}{2}c=2c\sqrt{6}(1-\cos\alpha)}\), zatem \(\displaystyle{ 1-\cos\alpha=\frac{7\sqrt{6}}{24}}\), więc \(\displaystyle{ \cos\alpha=1-\frac{7\sqrt{6}}{24}}\).-
- Użytkownik
- Posty: 3018
- Rejestracja: 23 mar 2005, o 10:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdynia
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 322 razy
ostrosłup trójkątny, cos kąta między ścianami bocznymi
Wyznaczając a zgubiłeś pierwiastek:
Z twierdzenia kosinusów otrzymujemy \(\displaystyle{ a^2=2c^2-2c^2\cos\alpha \/\/}\), więc
\(\displaystyle{ a=c\sqrt{2}\sqrt{(1-\cos\alpha)}}\).
więc \(\displaystyle{ cos (\alpha) =1-(\frac{7\sqrt{6}}{24})^{2}}\)
Z twierdzenia kosinusów otrzymujemy \(\displaystyle{ a^2=2c^2-2c^2\cos\alpha \/\/}\), więc
\(\displaystyle{ a=c\sqrt{2}\sqrt{(1-\cos\alpha)}}\).
więc \(\displaystyle{ cos (\alpha) =1-(\frac{7\sqrt{6}}{24})^{2}}\)
- sea_of_tears
- Użytkownik
- Posty: 1641
- Rejestracja: 2 lis 2007, o 20:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Śląsk
- Podziękował: 30 razy
- Pomógł: 548 razy