ostrosłup trójkątny, cos kąta między ścianami bocznymi

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
Awatar użytkownika
sea_of_tears
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1641
Rejestracja: 2 lis 2007, o 20:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Śląsk
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 548 razy

ostrosłup trójkątny, cos kąta między ścianami bocznymi

Post autor: sea_of_tears »

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym pole ściany bocznej jest cztery razy większe od pola podstawy. Oblicz cosinus kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi tego ostrosłupa.

Niby policzyłam to zadanie, ale wychodzi mi inny wynik niż w odpowiedzi, dlatego proszę o pomoc bo może zrobiłam gdzieś błąd albo wogóle źle zrobiłam
lukasz1804
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4438
Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 1313 razy

ostrosłup trójkątny, cos kąta między ścianami bocznymi

Post autor: lukasz1804 »

Oznaczmy przez \(\displaystyle{ a,b,h}\) odpowiednio krawędź podstawy, krawędź boczną i wysokość ściany bocznej.
Z założenia mamy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}ah=4\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}\), czyli
\(\displaystyle{ h=2a\sqrt{3}}\).
Niech \(\displaystyle{ c}\) będzie wysokością ściany bocznej, poprowadzoną do krawędzi bocznej.
Wówczas szukany kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem płaskim w trójkącie równoramiennym o bokach \(\displaystyle{ a,c,c}\) zawartym miedzy ramionami.
Z twierdzenia kosinusów otrzymujemy \(\displaystyle{ a^2=2c^2-2c^2\cos\alpha}\), więc
\(\displaystyle{ a=c\sqrt{2}(1-\cos\alpha)}\).
Jednak porównując wzory na pole trójkąta mamy dla ściany bocznej ostrosłupa równość: \(\displaystyle{ \frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}bc}\), czyli
\(\displaystyle{ ah=bc}\).
Z twierdzenia Pitagorasa dostajemy ponadto zależność między \(\displaystyle{ a,b,h}\) postaci \(\displaystyle{ b^2=\frac{a^2}{4}+h^2}\). Zestawiając wszystkie otrzymane wzory mamy kolejno \(\displaystyle{ b^2=\frac{a^2}{4}+12a^2=\frac{49a^2}{4}}\), czyli \(\displaystyle{ b=\frac{7}{2}a}\); stąd \(\displaystyle{ h=\frac{7}{2}c}\). Z drugiej strony, \(\displaystyle{ h=2c\sqrt{6}(1-\cos\alpha)}\). W konsekwencji \(\displaystyle{ \frac{7}{2}c=2c\sqrt{6}(1-\cos\alpha)}\), zatem \(\displaystyle{ 1-\cos\alpha=\frac{7\sqrt{6}}{24}}\), więc \(\displaystyle{ \cos\alpha=1-\frac{7\sqrt{6}}{24}}\).
florek177
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3018
Rejestracja: 23 mar 2005, o 10:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdynia
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 322 razy

ostrosłup trójkątny, cos kąta między ścianami bocznymi

Post autor: florek177 »

Wyznaczając a zgubiłeś pierwiastek:
Z twierdzenia kosinusów otrzymujemy \(\displaystyle{ a^2=2c^2-2c^2\cos\alpha \/\/}\), więc
\(\displaystyle{ a=c\sqrt{2}\sqrt{(1-\cos\alpha)}}\).

więc \(\displaystyle{ cos (\alpha) =1-(\frac{7\sqrt{6}}{24})^{2}}\)
Awatar użytkownika
sea_of_tears
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1641
Rejestracja: 2 lis 2007, o 20:13
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Śląsk
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 548 razy

ostrosłup trójkątny, cos kąta między ścianami bocznymi

Post autor: sea_of_tears »

dziękuję bardzo
ODPOWIEDZ