ciekawe zadanko z ostroslupem

[matematik]

Hey: ). Mam problem z takiem jednym zadankiem. Moze Wy byscie pomogli... Bardzo prosiłbym o rysunek do tego. A tresć zadania to: "Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny, którego kąt ostry ma miare alpha. Wszystkie krawedzie boczne mają długość k i są nachylone do podstawy pod kątem o mierze Beta. Oblicz objętość tego ostrosłupa." Z góry dzieki... Zastanawiam sie czy ten trójkat jest rownoramienny, bo w sumie w zadaniu tego nie podano... macie jakis pomysl na zrobienie tego??

[florek177]

Według mnie to będzie tak:
a. W tak określonym ostrosłupie ściana boczna, której podstawą jest przeciwprostokątna - c, tworzy z podstawą kąt prosty, a jej wysokość h - jest wysokością ostrosłupa.

b. Mamy \(\displaystyle{ \;h=k\cdot{sin( \beta )}\;}\) ; oraz \(\displaystyle{ \;(\frac{c}{2})^{2}=k^{2}-h^{2}\;}\) ; co daje: \(\displaystyle{ \;c=2k\cdot{cos( \beta )}\;}\).

c. Z trójkąta mamy : \(\displaystyle{ \;a=b\cdot{tg( )}\;}\).

d. Z pitagorasa; \(\displaystyle{ \;a^{2}+b^{2}=c^{2}\;}\); wyznaczam a i b:

- \(\displaystyle{ \;b=\frac{2k\cdot{cos(\beta)} }{\sqrt{1+tg^{2}(\alpha) }\;}\) ; oraz \(\displaystyle{ \;a=\frac{2k\cdot{cos(\beta)\cdot{tg(\alpha)}} }{\sqrt{1+tg^{2}(\alpha) }\;}\) ;

e. \(\displaystyle{ \;V=\frac{1}{3}\cdot{\frac{1}{2}}abh=\frac{k^{3}\cdot{cos(\beta)sin(2\beta)tg(\alpha)} }{3\cdot({1+tg^{2}(\alpha) )}\;}\) ;

PS. prościej a i b wyznaczyć z sin i cos alfa.