objetosc walca, jak najmniejsze pole powierzchni

[chris_stargard]

Jaką wysokość i jaki promień powinna mieć puszka na konserwy w kształcie walca o objętości \(\displaystyle{ 128\pi}\) aby na jej wykonanie zużyć najmniej materiału?

[natkoza]

\(\displaystyle{ V=\pi\cdot r^2\cdot h\\
128\pi=\pi\cdot r^2 \cdot h\\
128=r^2h\\
h=\frac{128}{r^2}\\
P_c=\2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r^2+2\pi r\cdot \frac{128}{r^2}=2\pi r^2+\frac{256\pi}{r}=\frac{2\pi r^3+256\pi}{r}}\)
zatem doprowadziliśmy pole całkowite naszgo walca do postaci funckji zmiennej \(\displaystyle{ t}\). Oznaczmy tą funkcję przez \(\displaystyle{ P(r)}\)
\(\displaystyle{ P(r)= \frac{2\pi r^3+256\pi}{r}}\)
szukamy ekstremum tej funkcji, wiec policzmy pochodną:
\(\displaystyle{ P'(r)=(\frac{2\pi r^3+256\pi}{r})'=\frac{(2\pi r^3+256\pi)'r-(2\pi r^3+256\pi)r'}{r^2}=\frac{6\pi r^2\cdot r-2\pi r^3-256\pi}{r^2}=\frac{4\pi r^3-256\pi}{r^2}=\frac{4\pi(r^3-64)}{r^2}=\frac{4\pi(r-4)(r^2+4r+16)}{r^2}}\)
Dla wszystkich \(\displaystyle{ r>0}\) wyrażenie \(\displaystyle{ r^2+4r+16>0}\). Pochodna jest więc równa zero tylko dla \(\displaystyle{ r=4}\)
Sprawdzamy jaki znak ma pochodna \(\displaystyle{ P'(r)}\) wokół \(\displaystyle{ r=4}\)
\(\displaystyle{ P'(t)>0}\) dla \(\displaystyle{ r>4}\) czyli funkcja jest rosnąca dla \(\displaystyle{ r\in (5,\infty)}\)
\(\displaystyle{ P'(t)}\)