Ostrosłup prawidlowy

[sara19]

W ostrosłup prawidłowy trójkątny o objętości \(\displaystyle{ \frac{50 \sqrt{3} }{3}}\)cm i wysokości 8cm wpisano kulę, oblicz pole powierzchni tej kuli.

[Dargi]

Zauważ że podstawa ostrosłupa to trójkąt który ma bok o długości:
\(\displaystyle{ a=2\sqrt{\frac{\sqrt{3}V}{h}}}\)
a promień kuli to :
\(\displaystyle{ r=\frac{2}{3}\frac{a\sqrt{3}}{2}}\)
czyli
\(\displaystyle{ r=\frac{2\sqrt{3\sqrt{3}V}}{3\sqrt{h}}}\)
No a pole powierzchni to:
\(\displaystyle{ S=4\pi r^2}\)
więc:
\(\displaystyle{ S=\frac{16\pi \sqrt{3}V}{3h}}\)

[lukasz1804]

Przepraszam, ale dlaczego promień kuli wpisanej w ten ostrosłup wyraża się wzorem \(\displaystyle{ r=\frac{a\sqrt{3}}{3}}\)? To jest na pewno długość promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa, ale czy to jest też długość promienia tej kuli?... Proszę o wyjaśnienie, choć sam też spróbuję się zastanowić.