dowód wzoru na objetość ostrosłupa

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
Awatar użytkownika
matekleliczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 252
Rejestracja: 23 gru 2005, o 11:05
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: gdańsk
Podziękował: 36 razy
Pomógł: 17 razy

dowód wzoru na objetość ostrosłupa

Post autor: matekleliczek »

Zastanawiałem się ostatnio jak udowodnić wzór na objętość ostrosłupa

wzór trójkąta udowadniamy przecinając go i składając prostokąt.
Nie można tego podobnie zastosować w ostrosłupie,
bo ztego co znalazłem to ktoś kiedyś udowodnił że nie każdy ostrosłup można tak pociąć a by złożyć z niego prostopadłościan

jak w takim razie udowodnić wzór ??
Piotr Rutkowski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 390 razy

dowód wzoru na objetość ostrosłupa

Post autor: Piotr Rutkowski »

Rozumiem, że chodzi Ci o rozwiązanie z użyciem matematyki elementarnej. Oczywiście dowód najczęsciej (zresztą tak jak na pozostałe bryły) wyprowadza się poprzez rachunek całkowy. Jednak kilka brył i/lub figur można załatwić stosując jedną ciekawą metodę opierającą się na twierdzeniu o 3 ciągach. Pełnego rozwiązania tu nie zamieszczę, bo sam dokładnie nie pamietam jak wyglądają rachunki, ale nie jest to też jakieś przesadnie skomplikowane. Dam tutaj przykład na podstawie stożka (wszystkie ostrosłupy pójdą analogicznie)
Opis metody:
1)potraktuj objętość jako ciąg \(\displaystyle{ c_{n}}\)
2)stwórz takie \(\displaystyle{ a_{n}}\) i \(\displaystyle{ b_{n}}\), że \(\displaystyle{ a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}}\)
3) te 2 ciągi niech będą ciągami malejących prostopadłościanów, przy czym w pierwszym żadne nie wystaje poza stożek, a drugi ciąg prostopadłościanów jest styczny do ściany stożka "dolną krawędzią" i lekko wystaje (najłatwiej to opisać na rysunku)
4)jedyny moment gdzie trzeba się wysilić, należy policzyć sobie te wszystkie sumy prostopadłościanów (będzie też trochę zabawy trygonometrią)
Podobnie można metodę zaimplementować do liczenia pola pod parabolą czy też pola koła
Potter42
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 5 maja 2011, o 11:05
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska

dowód wzoru na objetość ostrosłupa

Post autor: Potter42 »

A czy można udowodnić wzór na poziomie gimnazjów tj. bez użycia całek, ciągów itp...
Za pomocą sześcianu można udowodnić wzór na objętość ostrosłupa o podstawie kwadratu. Ale to szczególny przypadek ...
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 9833
Rejestracja: 18 gru 2007, o 03:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 90 razy
Pomógł: 2632 razy

dowód wzoru na objetość ostrosłupa

Post autor: »

Aby wyprowadzić wzór na objętość ostrosłupa trzeba użyć jakiegoś przejścia granicznego (co oczywiście wykracza poza poziom gimnazjum). Problem równoważności przez rozkład, to znaczy rozcięcia ostrosłupa na takie części, z których da się złożyć prostopadłościan - ma związek z trzecim problemem Hilberta. W 1900 roku Dehn udowodnił, że w ogólności tego zrobić się nie da.

Q.
ODPOWIEDZ