walec wpisany w ostrosłup prawidłowy

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
marcepan
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 71
Rejestracja: 17 gru 2007, o 16:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 21 razy
Pomógł: 1 raz

walec wpisany w ostrosłup prawidłowy

Post autor: marcepan »

zadanie na poziomie rozszerzonym, dziękuję za pomoc jesli komuś uda sie go rozwiązać;)

W ostrosłup prawidłowy trójkątny wpisano walec, którego podstawa lezy na podstawie ostrosłupa. Średnica podstawy walca jest równa jego wysokości. Znaleźć tangensa kąta nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do podstawy, dla którego stosunek objętości walca do objętości ostrosłupa jest największy. Podać ten największy stosunek w procentach.
Ostatnio zmieniony 18 gru 2007, o 08:53 przez marcepan, łącznie zmieniany 1 raz.
Grzegorz t
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 813
Rejestracja: 6 cze 2007, o 12:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Kąty Wrocławskie
Pomógł: 206 razy

walec wpisany w ostrosłup prawidłowy

Post autor: Grzegorz t »

dopisz, że chodzi o ostrosłup prawidłowy trójkątny, to wtedy ktoś rozwiąże, bo tak nie wiadomo, o co chodzi

[ Dodano: 19 Grudnia 2007, 09:03 ]
Zadanie można rozumieć tak, że na danym walcu (zakładamy sobie jego srednicę) opisujemy ostrosłup prawidłowy trójkątny o najmniejszej objetości, wtedy stosunek objetości walca do objętości ostrosłupa będzie największy, zatem przyjmując, że np. krawędź podstawy walca wynosi \(\displaystyle{ 1}\) i po sporządzeniu odpowiedniego rysunku, na mocy twierdzenia talesa albo podobieństwa trójkątów mamy, że \(\displaystyle{ \frac{H-1}{0,5}=\frac{H}{\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}}}\)
\(\displaystyle{ a}\) - krawędź podstawy ostrosłupa,
\(\displaystyle{ H}\) - wysokość ostrosłupa

\(\displaystyle{ H-1=\frac{\sqrt{3}H}{a}**, tg\alpha=\frac{H}{\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{3}H}{a}}\)

\(\displaystyle{ \frac{V_w}{V_o}=\frac{\frac{1}{4}\pi}{\frac{1}{3}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\cdot H}=\frac{3\pi}{a^2\sqrt{3}H}=\frac{\sqrt{3}\pi}{a^2H}}\)

Z \(\displaystyle{ **}\) mamy, że \(\displaystyle{ \frac{V_w}{V_o}=\frac{\sqrt{3}}{3}\pi\cdot \frac{(H-1)^2}{H^3}*}\)
Mamy obliczyć największą wartość tej funkcji - z zadania.
Po obliczeniu pochodnej tej funkcji i przyrównaniu jej do zera otrzymamy, że \(\displaystyle{ H=3}\), inne rozwiązania nie wchodzą w grę, bo założenia są takie, że \(\displaystyle{ H 0, H 1}\) dlatego , że \(\displaystyle{ tg\alpha=H-1=\frac{\sqrt{3}H}{a}}\) - tak jak powyżej

Stąd otrzymujemy liczby \(\displaystyle{ \begin{cases}H=3\\tg\alpha=2\\a=\frac{3\sqrt{3}}{2}\end{cases}}\) i po podstawieniu do \(\displaystyle{ *}\) otrzymujemy \(\displaystyle{ \frac{V_w}{V_o}=\frac{\sqrt{3}\pi}{a^2H}=\frac{3,14\cdot \sqrt{3}}{(\frac{3\sqrt{3}}{2})^2\cdot 3}\cdot 100\approx 27}\) procent

[ Dodano: 19 Grudnia 2007, 09:06 ]
zadanie rozwiązanie

[ Dodano: 19 Grudnia 2007, 09:08 ]
jak będziesz miał jakieś pytania odnośnie tego zadania lub innych to pytaj
ODPOWIEDZ