Oto treść zadania, bardzo proszę o pomoc
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym kąt między ścianami bocznymi ma miarę alfa , a
odległość krawędzi podstawy od przeciwległej krawędzi bocznej jest równa d. Obliczyć
objętość ostrosłupa.
Problem z zadaniem, oblicz objętość ostrosłupa
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Problem z zadaniem, oblicz objętość ostrosłupa
Oznaczmy na początku przez \(\displaystyle{ a,b,h}\) odpowiednio krawędź podstawy, krawędź boczną, wysokość ściany bocznej ostrosłupa.
Rozważmy najpierw dowolną ścianę boczną ostrosłupa. Jest ona oczywiście trójkątem równoramiennym. Niech \(\displaystyle{ x}\) będzie długością wysokości opuszczonej na ramię tego trójkąta. Wówczas ze wzoru na pole trójkąta dostajemy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}bx}\), czyli
Zauważmy w dalszym ciągu, że kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem między wysokościami ścian bocznych opuszczonymi z wierzchołków podstawy ostrosłupa na wspólną krawędź boczną. Ponieważ ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi, to każda z tych wysokości opuszczonych na wspólną krawędź boczną (czyli ramię trójkąta) ma długość \(\displaystyle{ x}\).
Z twierdzenia kosinusów zastosowanego w trójkącie o bokach \(\displaystyle{ x,x,a}\) mamy
Rozważmy teraz przekrój ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek ostrosłupa i zawierającą wysokość \(\displaystyle{ h}\) ściany bocznej oraz przeciwległą tej ścianie krawędź boczną \(\displaystyle{ b}\) ostrosłupa. Powstały w ten sposób przekrój jest trójkątem, w którym jedną z wysokości jest dany odcinek \(\displaystyle{ d}\), a drugą z wysokości jest wysokość \(\displaystyle{ H}\) ostrosłupa. Ze wzoru na pole trójkąta mamy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}bd=\frac{1}{2}\frac{a\sqrt{3}}{2}H}\), stąd
Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy ponadto
Trzeba z tych wzorów, którymi dysponujemy, wyznaczyć \(\displaystyle{ a, H}\), by następnie obliczyć objętość \(\displaystyle{ V}\) ostrosłupa ze wzoru \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}\frac{a^2\sqrt{3}}{4}H}\).
Na razie zastanawiam się, jak to efektywnie wyliczyć.
Rozważmy najpierw dowolną ścianę boczną ostrosłupa. Jest ona oczywiście trójkątem równoramiennym. Niech \(\displaystyle{ x}\) będzie długością wysokości opuszczonej na ramię tego trójkąta. Wówczas ze wzoru na pole trójkąta dostajemy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}bx}\), czyli
\(\displaystyle{ ah=bx}\)
.Zauważmy w dalszym ciągu, że kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) jest kątem między wysokościami ścian bocznych opuszczonymi z wierzchołków podstawy ostrosłupa na wspólną krawędź boczną. Ponieważ ściany boczne są przystającymi trójkątami równoramiennymi, to każda z tych wysokości opuszczonych na wspólną krawędź boczną (czyli ramię trójkąta) ma długość \(\displaystyle{ x}\).
Z twierdzenia kosinusów zastosowanego w trójkącie o bokach \(\displaystyle{ x,x,a}\) mamy
\(\displaystyle{ a^2=2x^2(1-\cos\alpha)}\)
.Rozważmy teraz przekrój ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez wierzchołek ostrosłupa i zawierającą wysokość \(\displaystyle{ h}\) ściany bocznej oraz przeciwległą tej ścianie krawędź boczną \(\displaystyle{ b}\) ostrosłupa. Powstały w ten sposób przekrój jest trójkątem, w którym jedną z wysokości jest dany odcinek \(\displaystyle{ d}\), a drugą z wysokości jest wysokość \(\displaystyle{ H}\) ostrosłupa. Ze wzoru na pole trójkąta mamy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}bd=\frac{1}{2}\frac{a\sqrt{3}}{2}H}\), stąd
\(\displaystyle{ 2bd=aH\sqrt{3}}\)
.Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy ponadto
\(\displaystyle{ H^2+(\frac{a\sqrt{3}}{6})^2=h^2}\)
, \(\displaystyle{ H^2+(\frac{a\sqrt{3}}{3})^2=b^2}\)
.Trzeba z tych wzorów, którymi dysponujemy, wyznaczyć \(\displaystyle{ a, H}\), by następnie obliczyć objętość \(\displaystyle{ V}\) ostrosłupa ze wzoru \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}\frac{a^2\sqrt{3}}{4}H}\).
Na razie zastanawiam się, jak to efektywnie wyliczyć.