Ostrosłup prawidłowy
-
marta01097
- Użytkownik
- Posty: 6
- Rejestracja: 13 gru 2007, o 18:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: radzymin
- Podziękował: 1 raz
Ostrosłup prawidłowy
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma 18 cm, a wysokość ściany bocznej 14 cm. Oblicz objętość tego ostrosłupa.
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Ostrosłup prawidłowy
Pole podstawy ostrosłupa znajdziemy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego o boku 18 cm. Jest ono równe \(\displaystyle{ P_p=\frac{(18 cm)^2\sqrt{3}}{4}=81\sqrt{3} cm^2}\).
Pozostaje znaleźć długość wysokości \(\displaystyle{ H}\) ostrosłupa. Zauważmy, że jest ona przyprostokątną w trójkącie prostokątnym o wysokości ściany bocznej jako przeciwprostokątnej oraz o drugiej przyprostokątnej równej promieniowi okręgu wpisanego w podstawę ostrosłupa. Oczywiście długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku 18 cm wynosi \(\displaystyle{ \frac{18 cm\sqrt{3}}{6}=3\sqrt{3} cm}\).
Stąd i z twierdzenia Pitagorasa dostajemy \(\displaystyle{ H^2+(3\sqrt{3} cm)^2=(14 cm)^2}\). W konsekwencji mamy \(\displaystyle{ H^2=(196-27) cm^2=169 cm^2}\). Stąd \(\displaystyle{ H=13 cm}\).
Ze wzoru na objętość ostrosłupa otrzymujemy teraz \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}P_p\cdot H=(\frac{1}{3}\cdot 81\sqrt{3}\cdot 13) cm^3=351\sqrt{3} cm^3}\).
Pozostaje znaleźć długość wysokości \(\displaystyle{ H}\) ostrosłupa. Zauważmy, że jest ona przyprostokątną w trójkącie prostokątnym o wysokości ściany bocznej jako przeciwprostokątnej oraz o drugiej przyprostokątnej równej promieniowi okręgu wpisanego w podstawę ostrosłupa. Oczywiście długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny o boku 18 cm wynosi \(\displaystyle{ \frac{18 cm\sqrt{3}}{6}=3\sqrt{3} cm}\).
Stąd i z twierdzenia Pitagorasa dostajemy \(\displaystyle{ H^2+(3\sqrt{3} cm)^2=(14 cm)^2}\). W konsekwencji mamy \(\displaystyle{ H^2=(196-27) cm^2=169 cm^2}\). Stąd \(\displaystyle{ H=13 cm}\).
Ze wzoru na objętość ostrosłupa otrzymujemy teraz \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}P_p\cdot H=(\frac{1}{3}\cdot 81\sqrt{3}\cdot 13) cm^3=351\sqrt{3} cm^3}\).