Graniastosłup prosty o podstawie równoległoboku

Marco Reven · Post autor: **Marco Reven** » 12 gru 2007, o 23:23

Podstawą graniastosłupa prostego jest równoległobok o obwodzie 18. Przekątne graniastosłupa mają długości 9 i \(\displaystyle{ \sqrt{33}}\), a krawędź boczna 4. Oblicz obj tego graniastosłupa. Wynik to 64.

w tym zadaniu umiem obliczyć tylko przekatne podstawy i dalej nie mam pomysłu...

pepis · Post autor: **pepis** » 13 gru 2007, o 22:06

Wydaje mi się że chodzi o przekątne podstawy...

Symetralna · Post autor: **Symetralna** » 13 gru 2007, o 22:12

Jeśli obliczyłeś obie przekątne podstawy, to oznacz sobie kąt ostry tego równoległoboku i skorzystaj dwa razy z tw. cosinusów, wykorzystując jedną przekątną,a potem drugą. Drugie równanie dostaniesz z obwodu.
Rozwiążesz układ równań i dostaniesz: boki i kąt między nimi. Czyli wszystko to, co potrzebujesz do obliczenia pola równoległoboku, a wysokość graniastosłupa masz, więc masz komplet do objętości.

Jeśli to za mało czytelne dla Ciebie, to napisz

dark_astray · Post autor: **dark_astray** » 18 lis 2009, o 23:16

przeanalizowałem wszystkie odpowiedzi w temacie. mam przekątne i niby licze ten układ równań wykorzystując raz jedna przekatna dluższa, otrzymam pol cosinusa, a potem z tą krótszą otrzymam cały. ale otrzymuje jakies kosmosy...
Jeżeli ktoś miał by chwilę czasu czy wpisałby to w temacie? niekoniecznie w tagach moze być w stylu x^2 np. Abym zobaczył czy w dobrą stronę ide chociaż. Dziękuję

Fcosu94 · Post autor: **Fcosu94** » 17 lis 2012, o 16:20

chciałbym odswieżyć zadanie. Tez mam problem z rozwiazaniem tych rownan,

ogolnie wychodzi taki uklad:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b=9 \\
a^2+b^2-2abcos \alpha =65 \\
a^2+b^2-2abcos (180- \alpha) =17 \end{cases}}\)

po podstawieniu a=9-b, wykorzystniu wzory na cos 180-a wychodzi mi \(\displaystyle{ 2b^2-18b+55=0}\) czyli delta ujemna cosinusy mi sie wszystkie poskracaly wczesniej

anna_ · Post autor: **anna_** » 17 lis 2012, o 17:15

\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b=9 \\
a^2+b^2-2abcos \alpha =65 \\
a^2+b^2-2abcos (180- \alpha) =17 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b=9 \\
a^2+b^2-2abcos \alpha =65 \\
a^2+b^2+2abcos \alpha =17 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b=9 \\
2a^2+2b^2=82 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a=9-b \\
2a^2+2b^2=82 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a=9-b \\
2(9-b)^2+2b^2=82 \end{cases}}\)

rozwiąż:
\(\displaystyle{ 2b^2-18b+81=41}\)

777Lolek · Post autor: **777Lolek** » 17 lis 2012, o 17:30

Anna_ pokazała bardzo łatwe rozwiązanie, na które ja nie wpadłem, ale zanim, napisałem już całe to ustrojstwo, więc się nim podzielę, bo mi szkoda Przy okazji, może ktoś ma jakiś pomysł co dalej? Albo widzi gdzieś błąd :d

z układu z tw. cosinusów dostajemy coś takiego:

\(\displaystyle{ \begin{cases} a = 9-b\\ b^2(1 + \cos\alpha) - 9b(1 + \cos\alpha) + 32 = 0\\ b^2(1 - \cos\alpha) - 9b(1-\cos\alpha) + 8 = 0 \end{cases}}\)
no i licząc deltę pierwszego równania z cosinusem, dostaję \(\displaystyle{ \Delta_1 = 81\cos^2\alpha + 34\cos\alpha - 47}\) co, żeby równanie było prawdziwe, i zadanie miało jakieś rzeczywiste rozwiązanie, musi spełniać \(\displaystyle{ \Delta_1\ge 0}\) , co spełnia tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ \cos\alpha\in \{-1\}\cup \left\langle \frac{47}{81}, 1\right\rangle}\) (pamiętając o zbiorze wartości funkcji cosinus).
Licząc deltę drugiego, \(\displaystyle{ \Delta_2 = 81\cos^2\alpha - 130\cos\alpha + 49}\) , a \(\displaystyle{ \Delta_2 \ge 0 \ \hbox{ gdy } \ \cos\alpha\in \left\langle -1, \frac{49}{81} \right\rangle \cup \{ 1 \}}\)

Oba równania muszą mieć przynajmniej jedno rozwiązanie (bo to jest układ równań które z założenia są prawdziwe, jeżeli z jednego wynika że \(\displaystyle{ b\in \emptyset}\) to nie istnieje takie \(\displaystyle{ b}\) które spełniałoby warunki zadania), zatem musi zachodzić \(\displaystyle{ \Delta_1 \ge 0 \wedge \Delta_2 \ge 0 \Rightarrow \cos\alpha\in \left\langle \frac{47}{81}, \frac{49}{81} \right\rangle \cup \left\{ -1;1 \right\}}\)

Ale skoro wiemy że to ma być równoległobok, to kąt ostry \(\displaystyle{ \alpha \in (0, 90^{\circ})}\) , zatem \(\displaystyle{ |\cos\alpha| \not= 1}\) . Więc \(\displaystyle{ \ {\red \cos\alpha \in \left\langle \frac{47}{81}, \frac{49}{81} \right\rangle } .}\)

Wracając,

\(\displaystyle{ \begin{cases} a = 9-b\\ b^2(1 + \cos\alpha) - 9b(1 + \cos\alpha) + 32 = 0\\ b^2(1 - \cos\alpha) - 9b(1-\cos\alpha) + 8 = 0 \\ \Delta_1 = 81\cos^2\alpha + 34\cos\alpha - 47 \\ \Delta_2 = 81\cos^2\alpha - 130\cos\alpha + 49 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a = 9-b\\ b^2(1 + \cos\alpha) - 9b(1 + \cos\alpha) + 32 = 0\\ b^2(1 - \cos\alpha) - 9b(1-\cos\alpha) + 8 = 0 \\ \Delta_1 = 81\left(\cos\alpha + 1\right)\left(\cos\alpha - \frac{47}{81}\right) \\ \Delta_2 = 81\left(\cos\alpha - 1\right)\left(\cos\alpha - \frac{49}{81}\right)\\ \cos\alpha \in \left\langle \frac{47}{81}, \frac{49}{81} \right\rangle \end{cases}}\)

esperaanza · Post autor: **esperaanza** » 27 paź 2014, o 18:33

ogolnie wychodzi taki uklad:
\(\displaystyle{ \begin{cases} a+b=9 \\
a^2+b^2-2abcos \alpha =65 \\
a^2+b^2-2abcos (180- \alpha) =17 \end{cases}}\)

Nie odwrotnie? tzn. kąt \(\displaystyle{ \alpha}\) leży na przeciwko przekątnej \(\displaystyle{ \sqrt{17}}\), a kąt (180-\(\displaystyle{ \alpha}\))na przeciwko przekatnej \(\displaystyle{ \sqrt{65}}\).