W stożek wpisano kulę, a następnie w obszar zawarty między tą kulą i wierzchołkiem
stożka wpisano kulę o objętości 8 razy mniejszej. Obliczyć stosunek objętości stożka do
objętości kuli na nim opisanej.
W stożek wpisano kulę
-
0202122piotras
- Użytkownik
- Posty: 23
- Rejestracja: 11 gru 2007, o 18:17
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 5 razy
W stożek wpisano kulę
Ostatnio zmieniony 5 lut 2009, o 20:58 przez nuclear, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie odpowiedni dział
Powód: Nie odpowiedni dział
-
florek177
- Użytkownik
- Posty: 3018
- Rejestracja: 23 mar 2005, o 10:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdynia
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 322 razy
W stożek wpisano kulę
\(\displaystyle{ R}\) - promień kuli opisanej; \(\displaystyle{ r}\) - promień podstawy stożka, \(\displaystyle{ r_{1}}\) - promień kuli wpisanej; \(\displaystyle{ k \, r_{1}}\) - promień mniejszej kuli.
Z objętości kul wpisanych wyznaczamy skalę : \(\displaystyle{ \,\,\, k = \frac{1}{2} \,\,\,}\) ; ponadto: \(\displaystyle{ \,\,\, \frac{r}{l} = sin(\alpha) \,\,\,}\) i \(\displaystyle{ \,\,\, \frac{H}{l} = cos(\alpha)}\).
Z porównania pól powierzchni trójkąta i okręgu opisanego wyznaczamy : \(\displaystyle{ R = \frac{l^{2}}{2 \, H}}\);
Stosunek objętości: \(\displaystyle{ \frac{V_{s}}{V_{k}} = \frac{1}{4} \, \frac{r^{2}}{R^{2}} \, \frac{H}{R} \,\,\,\,}\) ; --> po podstawieniu R : \(\displaystyle{ \frac{V_{s}}{V_{k}} =2 \, \frac{r^{2}}{l^{2}} \, \frac{H^{2}}{l^{2}} \, \frac{H^{2}}{l^{2}} = 2 \, sin^{2}(\alpha) \, [ 1 - sin^{2}(\alpha)]^{2} \,\,\,\,}\)
ale: \(\displaystyle{ sin(\alpha) = \frac{r_{1}}{3 \, r_{1}} = \frac{1}{3} \,\,\,}\) ; --> \(\displaystyle{ \frac{V_{s}}{V_{k}} = \frac{128}{729}}\)
Z objętości kul wpisanych wyznaczamy skalę : \(\displaystyle{ \,\,\, k = \frac{1}{2} \,\,\,}\) ; ponadto: \(\displaystyle{ \,\,\, \frac{r}{l} = sin(\alpha) \,\,\,}\) i \(\displaystyle{ \,\,\, \frac{H}{l} = cos(\alpha)}\).
Z porównania pól powierzchni trójkąta i okręgu opisanego wyznaczamy : \(\displaystyle{ R = \frac{l^{2}}{2 \, H}}\);
Stosunek objętości: \(\displaystyle{ \frac{V_{s}}{V_{k}} = \frac{1}{4} \, \frac{r^{2}}{R^{2}} \, \frac{H}{R} \,\,\,\,}\) ; --> po podstawieniu R : \(\displaystyle{ \frac{V_{s}}{V_{k}} =2 \, \frac{r^{2}}{l^{2}} \, \frac{H^{2}}{l^{2}} \, \frac{H^{2}}{l^{2}} = 2 \, sin^{2}(\alpha) \, [ 1 - sin^{2}(\alpha)]^{2} \,\,\,\,}\)
ale: \(\displaystyle{ sin(\alpha) = \frac{r_{1}}{3 \, r_{1}} = \frac{1}{3} \,\,\,}\) ; --> \(\displaystyle{ \frac{V_{s}}{V_{k}} = \frac{128}{729}}\)