Oblicz objętość ostrosłupa: dana krawędź i kąt nachyl

[Paweł1111]

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna ma długość równą 12 cm. i tworzy z podstawą kąt \(\displaystyle{ \alpha=45^o}\). Oblicz objętość ostrosłupa. Bardzo proszę, zrób mi to zadanie.

REGULAMIN - Zlodiej

[Zlodiej]

Zauważ, że wysokość tego ostrosłupa wraz z krawędzią boczną i połową wysokości podstawy tworzą trójkąt równoramienny, prostokątny, dlatego też wysokość ostrosłupa jak i połowa wysokości podstawy mają długość \(\displaystyle{ 6\sqrt{2}}\). Wiemy również, że podstawą jest trójkąt równoboczny którego wysokość wyraża sie wzorem: \(\displaystyle{ \frac{a\sqrt{3}}{2}}\), zatem \(\displaystyle{ 24\sqrt{2}=a\sqrt{3} \Longrightarrow a=8\sqrt{6}}\). a podstawiasz do wzoru na pole trójkąta równobocznego \(\displaystyle{ S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}}\). Masz juz pole podstawy i wysokość. Objętość jest równa \(\displaystyle{ V=\frac{1}{3}S\cdot H}\).

[paulgray]

Zlodiej, spodek wysokości w tym przypadku (bo wysokości w trójkątach równobocznych dzielą sie w takich stosunkach) dzieli wysokość podstawy w stosunku 2:1 i przez to \(\displaystyle{ 6\sqrt{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}}\) więc \(\displaystyle{ a=6\sqrt{6}}\)