Krawędź boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego tworzy z podstawą kąt 60stopni. Oblicz
cosinus kata, jaki z podstawą tego ostrosłupa tworzy wysokość jego ściany bocznej.
Ostrasłup prawidłowy czworokątny, obliczanie cosinusa kąta
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
Ostrasłup prawidłowy czworokątny, obliczanie cosinusa kąta
Wprowadźmy oznaczenia: \(\displaystyle{ a}\)- krawędź podstawy, \(\displaystyle{ b}\)- krawędź boczna, \(\displaystyle{ h}\)- wysokość ściany bocznej.
Wówczas mamy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{a\sqrt{2}}{2b}}\), więc \(\displaystyle{ b=a\sqrt{2}}\).
Z twierdzenia Pitagorasa mamy \(\displaystyle{ h^2+\frac{a^2}{4}=b^2}\), czyli \(\displaystyle{ h=\frac{a}{2}\sqrt{7}}\).
Niech \(\displaystyle{ \alpha}\) będzie szukanym kątem nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy. Wtedy \(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{a}{2h}=\frac{\sqrt{7}}{7}}\).
Wówczas mamy \(\displaystyle{ \frac{1}{2}=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{a\sqrt{2}}{2b}}\), więc \(\displaystyle{ b=a\sqrt{2}}\).
Z twierdzenia Pitagorasa mamy \(\displaystyle{ h^2+\frac{a^2}{4}=b^2}\), czyli \(\displaystyle{ h=\frac{a}{2}\sqrt{7}}\).
Niech \(\displaystyle{ \alpha}\) będzie szukanym kątem nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy. Wtedy \(\displaystyle{ \cos\alpha=\frac{a}{2h}=\frac{\sqrt{7}}{7}}\).