Objętość powstałej bryły

[ewuśka]

Ze stożka o kącie beta między tworzącą a wysokością wycięto stożek o tej samej podstawie i kącie między tworzącą a wysokością równym alfa. Oblicz objętość tak powstałej bryły wiedząc, że różnica wysokości stożków wynosi h.

[scyth]

Najpierw wzór na objętość
r - promień podstawy
h - wysokość
\(\displaystyle{ \alpha}\) - kąt między tworzącą a wysokością

Wtedy;
\(\displaystyle{ r=h \tan \\
V=\frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{\pi}{3} h^3 \tan^2 }\)

Niech \(\displaystyle{ h_1}\) będzie wysokością małego stożka a \(\displaystyle{ h}\) różnicą wysokości.

Podstawa stożka:
\(\displaystyle{ r=h_1 \tan =(h+h_1)\tan \beta}\)
(stąd \(\displaystyle{ h_1=\frac{h \tan \beta}{\tan - \tan \beta}}\))

Liczymy "duży" stożek:
\(\displaystyle{ V_1=\frac{\pi}{3} h_1^2 \tan^2 (h+h_1)}\)
"mały" stożek:
\(\displaystyle{ V_2=\frac{\pi}{3} h_1^2 \tan^2 h_1}\)
różnica:
\(\displaystyle{ V=V_1-V_2=\frac{\pi}{3} h_1^2 \tan^2 (h+h_1)-\frac{\pi}{3} h_1^2 \tan^2 h_1=\frac{\pi}{3} h_1^2 \tan^2 h}\)

Teraz wstawić za \(\displaystyle{ h_1}\) to, co wyżej i gotowe.