Ostrosłup prawidłowy w walcu

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
ewuśka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 16 lis 2007, o 21:59
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Częstochowa
Podziękował: 4 razy

Ostrosłup prawidłowy w walcu

Post autor: ewuśka »

Podstawą ostrosłupa prawidłowego jest trójkąt wpisany w dolną podstawę walca o promieniu długości R, wierzchołkiem jest punkt należący do górnej podstawy walca. Miara kąta między krawędzią boczną ostrosłupa a krawędzią jego podstawy jest równa alfa. Oblicz objętość ostrosłupa. Dla jakich alfa zadanie ma rozwiązanie?

Obliczyłam, że długość boku tego trójkąta to \(\displaystyle{ R\sqrt{3}}\) i jak dalej na to spojrzeć? Dziękuję za ewentualną pomoc:)
Ostatnio zmieniony 30 lis 2007, o 19:44 przez ewuśka, łącznie zmieniany 1 raz.
Awatar użytkownika
Szemek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4819
Rejestracja: 10 paź 2006, o 23:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 1407 razy

Ostrosłup prawidłowy w walcu

Post autor: Szemek »



Wysokość ściany bocznej:
\(\displaystyle{ tg \ \alpha = \frac{h_s}{\frac{R\sqrt{3}}{2}}}\)
\(\displaystyle{ h_s=tg \ \alpha {\frac{R\sqrt{3}}{2}}}\)
Wysokość ostrosłupa:
\(\displaystyle{ H^2 + \left(\frac{R}{2} \right)^2 = \left( tg \ \alpha {\frac{R\sqrt{3}}{2}}\right)^2}\)
\(\displaystyle{ H^2= tg^2 \ \alpha \frac{3R^2}{4} - \frac{R^2}{4}}\)
\(\displaystyle{ H^2= \frac{R^2}{4}(3tg^2 \ \alpha - 1)}\)
\(\displaystyle{ H=\frac{R}{2} \sqrt{3tg^2 \ \alpha - 1}}\)

\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3} \cdot P_p \cdot H}\)
\(\displaystyle{ P_p=\frac{ \left(R\sqrt{3} \right)^2 \sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}R^2}{4}}\)
\(\displaystyle{ V=\frac{1}{3} \cdot\frac{3\sqrt{3}R^2}{4} \cdot \frac{R}{2} \sqrt{3tg^2 \ \alpha - 1}}\)
\(\displaystyle{ V=\frac{\sqrt{3}R^3}{8} \sqrt{3tg^2 \ \alpha - 1}}\)
\(\displaystyle{ V=\frac{\sqrt{3(tg^2 \ \alpha - 1)}}{8}R^3}\)

Żeby określić kąt \(\displaystyle{ \alpha}\)
musi być spełniony układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3tg^2 \ \alpha - 1 > 0 \\ ft(0, \frac{\pi}{2} \right) \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \alpha ft(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{2} \right)}\)
Takie coś mi wyszło, dobrze jakby ktoś potwierdził albo zaprzeczył poprawność obliczeń.
ewuśka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 28
Rejestracja: 16 lis 2007, o 21:59
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Częstochowa
Podziękował: 4 razy

Ostrosłup prawidłowy w walcu

Post autor: ewuśka »

ty tu nie zaznaczyłeś krawędzi bocznej tylko wysokość boku, czy źle mówię?
Awatar użytkownika
Szemek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4819
Rejestracja: 10 paź 2006, o 23:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 43 razy
Pomógł: 1407 razy

Ostrosłup prawidłowy w walcu

Post autor: Szemek »

Krawędzie ostrosłupa są zaznaczone na czarno.
Na czerwono natomiast: wysokość ściany bocznej, wysokość ostrosłupa i promień okręgu wpisanego w podstawę.
ODPOWIEDZ