ostrosłup

Sześciany. Wielościany. Kule. Inne bryły. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa w przestrzeni.
cyryl5
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 134
Rejestracja: 2 lis 2006, o 10:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska
Podziękował: 13 razy

ostrosłup

Post autor: cyryl5 »

podstawa ostroslupa jest trojka o bokach lABl=2 sqrt{3} lACl=lBCl=2 a wszystkie jego krawedzie sa nachylone do plaszczyzny podstawy pod katem 30 stopni .oblicz jego objetosc
Symetralna
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 183
Rejestracja: 26 wrz 2007, o 10:07
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Dąbrowa Górnicza
Pomógł: 56 razy

ostrosłup

Post autor: Symetralna »

Gdy zrobisz porządny rysunek, zauważysz trzy trójkąty podobne (trójkąty prostokątne, których jeden z kątów ma miarę 30 st, mają wspólną przyprostokątną H - wysokość ostrosłupa). Przeciwprostokątnymi tych trójkatów są krawędzie boczne tego ostrosłupa (czyli są tej samej długości), a drugą przyprostokątną są odcinki łączące spodek wysokości z wierzchołkami podstawy. Te odcinki też są równe, skoro trójkąty są podobne. zatem spodek wysokości jest tak samo odległy od wierzchołków podstawy, jest to więc ŚRODEK OKRĘGU OPISANEGO na trójącie będącym postawą tego ostrosłupa.

Gdy będziemy mieć długość tego promienia, to obliczymy H, która jest nam potrzebna do objętości.

x - kąt między ramionami trójkąta będącego w postawie.
Korzytam z tw. cosinusów:

\(\displaystyle{ \left( 2 \sqrt{3} \right) ^{2} = 2^{2} + 2^{2} -2 *2*2 * cos x}\)

\(\displaystyle{ cos x = - \frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle{ x= 120 st.}\)

z tw. sinusów obliczam R :

\(\displaystyle{ \frac{a}{ sin x} = 2R}\)

\(\displaystyle{ \frac{2 \sqrt{3} }{sin 120 st}= 2R}\)

\(\displaystyle{ R= 2}\)

\(\displaystyle{ \frac{H}{R} = tg 30 st}\)

\(\displaystyle{ H= \frac{ 2 \sqrt{3} }{3}}\)

\(\displaystyle{ P_{p} = \frac{2*2*2 \sqrt{3} }{4* 2}= \sqrt{3}}\)

\(\displaystyle{ V= \frac{1}{3} * P_{p} * H = \frac{1}{3} * \sqrt{3} * \frac{ 2 \sqrt{3} }{3} = \frac{2}{3}}\)
ODPOWIEDZ