Przekątne dwóch ścian bocznych prostopadłościanu wychodzące z jednego wierzchołka są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątami alfa i beta takimi ze tg alfa = 4 tg beta = 2.Suma długości wszystkich krawędzi prostopadłościanu jest równa 56.
a) Oblicz pole powerzchni całkowitej prostopadłościanu.
b) Wyznacz cosinus kata gamma miedzy przekątnymi ścian bocznych prostopadłościanu wychodzącymi z jednego wierzchołka oraz wykaz za cos gama = sin alfa * sin beta
obliczyć pole prostopadlościanu
-
kuch2r
- Użytkownik
- Posty: 2302
- Rejestracja: 18 paź 2004, o 18:27
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław/Ruda Śląska
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 408 razy
obliczyć pole prostopadlościanu
oznaczmy sobie:
a - dlugosc krawedzi podstawy
b - dlugosc krawedzi podstawy
c - wysokosc
\(\displaystyle{ 4a+4b+4c=56\\a+b+c=14\\tg\alpha=\frac{c}{b}\\tg\beta=\frac{c}{a}\\\left{\begin{array}{l}a+b+c=14\\ \frac{c}{b}=4\\ \frac{c}{a}=2\end{array}\right.\\\left{\begin{array}{l}a=4\\b=2\\c=8\end{array}\right.}\)
Obliczamy:
\(\displaystyle{ P_c=2ac+2ab+2bc=112}\)
b)Obliczamy przekatne scian bocznych korzystajac z twierdzenia pitagorasa:
\(\displaystyle{ a^2+c^2=x^2\\x^2=80\\x=2\sqrt{15}\\b^2+c^2=y^2\\y^2=68\\y=2\sqrt{17}\\a^2+b^2=z^2\\z^2=20\\z=2\sqrt{5}}\)
Obliczamy cosinus kat gama za pomoca twierdzenia cosinusow.
\(\displaystyle{ z^2=x^2+y^2-2xy*cos\gamma\\20=80+68-2*2\sqrt{15}*2\sqrt{17}*cos\gamma\\-128=-8\sqrt{255}cos\gamma\\16=\sqrt{255}cos\gamma\\cos\gamma=\frac{16\sqrt{255}}{255}}\)
Obliczamy sinusy katow alfa i beta
\(\displaystyle{ sin\alpha=\frac{c}{x}\\sin\alpha=\frac{8}{2\sqrt{15}}\\sin\beta=\frac{c}{y}\\sin\beta=\frac{8}{2\sqrt{17}}}\)
\(\displaystyle{ cos\gamma=sin\alpha*sin\beta\\cos\gamma=\frac{16\sqrt{255}}{255}=\frac{8}{2\sqrt{17}}*\frac{8}{2\sqrt{15}}}\)
a - dlugosc krawedzi podstawy
b - dlugosc krawedzi podstawy
c - wysokosc
\(\displaystyle{ 4a+4b+4c=56\\a+b+c=14\\tg\alpha=\frac{c}{b}\\tg\beta=\frac{c}{a}\\\left{\begin{array}{l}a+b+c=14\\ \frac{c}{b}=4\\ \frac{c}{a}=2\end{array}\right.\\\left{\begin{array}{l}a=4\\b=2\\c=8\end{array}\right.}\)
Obliczamy:
\(\displaystyle{ P_c=2ac+2ab+2bc=112}\)
b)Obliczamy przekatne scian bocznych korzystajac z twierdzenia pitagorasa:
\(\displaystyle{ a^2+c^2=x^2\\x^2=80\\x=2\sqrt{15}\\b^2+c^2=y^2\\y^2=68\\y=2\sqrt{17}\\a^2+b^2=z^2\\z^2=20\\z=2\sqrt{5}}\)
Obliczamy cosinus kat gama za pomoca twierdzenia cosinusow.
\(\displaystyle{ z^2=x^2+y^2-2xy*cos\gamma\\20=80+68-2*2\sqrt{15}*2\sqrt{17}*cos\gamma\\-128=-8\sqrt{255}cos\gamma\\16=\sqrt{255}cos\gamma\\cos\gamma=\frac{16\sqrt{255}}{255}}\)
Obliczamy sinusy katow alfa i beta
\(\displaystyle{ sin\alpha=\frac{c}{x}\\sin\alpha=\frac{8}{2\sqrt{15}}\\sin\beta=\frac{c}{y}\\sin\beta=\frac{8}{2\sqrt{17}}}\)
\(\displaystyle{ cos\gamma=sin\alpha*sin\beta\\cos\gamma=\frac{16\sqrt{255}}{255}=\frac{8}{2\sqrt{17}}*\frac{8}{2\sqrt{15}}}\)