Znaleśc długośc promienia podstawy i długośc wysokości walca wpisanego w kulę i promieniu długości R tak, że jego objętośc jest największa...
Proszę bardzo o pomoc z góry wieeelkie dzięki...
Walec...
-
andkom
- Użytkownik
- Posty: 636
- Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Pomógł: 350 razy
Walec...
Niech \(\displaystyle{ r}\) będzie promieniem podstawy rozważanego walca, a \(\displaystyle{ h}\) jego wysokością.
Mamy \(\displaystyle{ r^2+(h/2)^2=R^2}\).
Objętość walca to \(\displaystyle{ \pi r^2h=\pi(R^2-h^2/4)h=\pi(R^2h-h^3/4)=:V(h)}\).
Funkcja \(\displaystyle{ V(h)}\) przyjmuje maksimum dla takiego \(\displaystyle{ h}\), że \(\displaystyle{ V'(h)=0}\), czyli \(\displaystyle{ \pi(R^2-3h^2/4)=0}\).
Stąd \(\displaystyle{ h=\frac2{\sqrt3}R}\) oraz \(\displaystyle{ r=\sqrt{R^2-(h/2)^2}=\sqrt{1-\frac13}R=\sqrt{\frac23}R}\)
Mamy \(\displaystyle{ r^2+(h/2)^2=R^2}\).
Objętość walca to \(\displaystyle{ \pi r^2h=\pi(R^2-h^2/4)h=\pi(R^2h-h^3/4)=:V(h)}\).
Funkcja \(\displaystyle{ V(h)}\) przyjmuje maksimum dla takiego \(\displaystyle{ h}\), że \(\displaystyle{ V'(h)=0}\), czyli \(\displaystyle{ \pi(R^2-3h^2/4)=0}\).
Stąd \(\displaystyle{ h=\frac2{\sqrt3}R}\) oraz \(\displaystyle{ r=\sqrt{R^2-(h/2)^2}=\sqrt{1-\frac13}R=\sqrt{\frac23}R}\)